Hallo ihr Lieben,
in unsrer neuen Hausübung sollen wir die globalen Extrema von mehrdimensionlaen Funktionen und einer Nebenbedingung berechnen. Eine Kommilitonin und ich haben mal uns mal daran versucht, wir sind allerdings nicht sicher ob es stimmt.
Die Funktion lautet:
f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R : \begin{pmatrix} x \ x \end{pmatrix} \mapsto x^2y + \frac{1}{2}y^2 + \frac{2}{3}y
und die Nebenbedingung lautet:
x^2 + 4y^2 = 1
Durch die Lagrange Funktion erhalten wir folgende Form:
L = x^2y + \frac{1}{2}y^2 + \frac{2}{3}y -\lambda * (x^2 + 4y^2 - 1)
Diese Funktion leiten wir partiell ab, d.h. einmal nach x und einmal nach y, und erhalten folgende neue Funktionen:
\frac{df}{dx}= 2xy - 2\lambda x
\frac{df}{dy}= x^2 + y + \frac{2}{3} - 8\lambda y
Jetzt stellen wir die erste Gleichung nach x und nach y um und erhalten:
\frac{df}{dx}= 2xy - 2\lambda x
\Leftrightarrow y = \lambda
\Leftrightarrow x*(2y - 2\lambda ) = 0 \Rightarrow x = 0
Fallunterscheidung:
Fall 1, x=0 in die Nebenbedingung einsetzen und nach y umstellen.
\Rightarrow y = \pm \frac{1}{2}
Fall 2, y=\lambda in die Nebenbedingung einsetzen und nach x umstellen.
\Rightarrow x = \pm \sqrt{1 - 4\lambda ^2}
Hier weiß ich nicht wie ich mit dem Lambda umgehen soll, ich habe deshalb nur den Kandidat des ersten Falles genommen: Leider funktionieren ab hier die Matritzenen bzw. Vektoren nicht mehr 
(0,(1/2))
und
(0,(-1/2))
Jetzt haben wir in die gegebene Funktion für x = 0 und y = \pm \frac{1}{2} eingesetzt.
\Rightarrow f(0,\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} * \frac{1}{4} + \frac{2}{6} = \frac{11}{24}
\Rightarrow f(0,\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} * \frac{1}{4} - \frac{2}{6} = - \frac{5}{24}
Daraus ergibt sich, laut Definitheit
Bei f(1,(1/2)) ist globales Maximum
und
Bei f(1,(-1/2)) ist globales Maximum
Liebe Grüße Matthias