Extremertproblem

[Chris1995]

Hallo ihr: Ich muss folgende Aufgabe als Einstieg in ein neues Thema vor meiner Klasse präsentieren… hab aber keine ahnung wie die zu lösen ist…

16: die tragfähigkeit von holzbalken ist proportional zur balkenbreite b und zum quadrat der balkenhöhe h
a) aus einem zylindrischen baumstamm mit dem radius r soll ein balken maximaler tragfähigkeit herausgeschnitten werden. wie sind breite und höhe zu wählen?
b) wie genau ist die auf dem rand zitierte zimmermannsregel
[14:20:12] Geno J.: Zimmermannsregel: zeichne auf eine kreisförmige querschnittsfläche des baumstammes einen durchmesser; teile diesen in drei gleiche teile; ziehe in jedem teilpunkt die senkrechte zum durchmesser; so ergibt sich der Balkenquerschnitt

[Anonym_fa8710ff30b3]

Hi,

und was ist deine Frage?

Grüße

powerblue

[Hendrik_70c5fb]

Hallo Chris,

zeichne dir mal ein Rechteck in einen Kreis, so dass der Mittelpunkt des Rechtecks der Mittelpunkt des Kreises ist und alle Ecken auf der Kreislinie liegen. Das stellt den Querschnitt eines Balkens dar. Die Höhe h und die Breite b des Rechtecks sind die Höhe und Breite des Balkens. Mit dem Satz des Pythagoras siehst du, dass
(h/2)²+(b/2)²=r²,
wobei r der Radius des Kreises ist.
Das kannst du nach h² auflösen: h²=4r²-b²
Jetzt soll die Tragfähigkeit t proportional zu b und h² sein, also
t(b)=cbh²=cb(4r²-b²),
wobei c irgendeine Konstante ist.
Jetzt hast du deine Zielfunktion, die kannst du ableiten und das Maximum suchen.

Bezüglich Aufgabenteil b) ist vor allem das Verhältnis von Höhe zu Breite interessant. Wenn du dieses Verhältnis bei einem Balken nach der Zimmermannsregel berechnest (wieder mit Satz des Pythagoras), kommst du auf

\frac{1}{\sqrt{8}}

Das sollst du mit dem Verhältnis für einen optimal tragfähigen Balken vergleichen.

Gruß,

hendrik

[Pontius]

Hallo Hendrik,

Bezüglich Aufgabenteil b) ist vor allem das Verhältnis von
Höhe zu Breite interessant. Wenn du dieses Verhältnis bei
einem Balken nach der Zimmermannsregel berechnest (wieder mit
Satz des Pythagoras), kommst du auf

\frac{1}{\sqrt{8}}

ich habe nicht verstanden, was das für ein Verhältnis sein soll.
Das von Höhe zu Breite kann es ja wohl nicht sein.

Gruß
Pontius

[Hendrik_70c5fb]

\frac{1}{\sqrt{8}}

ich habe nicht verstanden, was das für ein Verhältnis sein
soll.
Das von Höhe zu Breite kann es ja wohl nicht sein.

Hallo Pontius,

welchen Wert hast du denn raus bei einem Balken nach der Zimmermannsregel?

hendrik

[Pontius]

welchen Wert hast du denn raus bei einem Balken nach der
Zimmermannsregel?

Mit und ohne Zimmermannsregel:

h / b = sqrt 2 / 1

[Hendrik_70c5fb]

Mit und ohne Zimmermannsregel:

h / b = sqrt 2 / 1

Aber dann wäre ja

h=b\sqrt{2}

und das würde bedeuten, dass

r^2=\left(\frac{h}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{h^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{4}=\frac{3}{4}b^2

Daraus folgt, dass

b=r\frac{2}{3}\sqrt{3}

und

h=r\frac{2}{3}\sqrt{6}

was offensichtlich nicht der Zimmermannsregel entspricht, denn laut dieser Regel soll entweder b oder h 2/3 von r sein. Es hilft dir sicher, wenn du dir zur Hilfe eine Skizze machst.

Gruß,

hendrik

[Pontius]

Mit und ohne Zimmermannsregel:

h / b = sqrt 2 / 1

Aber dann wäre ja

h=b\sqrt{2}

und das würde bedeuten, dass

r^2=\left(\frac{h}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac
{h^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{4}=\frac{3}{4}b
^2

Daraus folgt, dass

b=r\frac{2}{3}\sqrt{3}

und

h=r\frac{2}{3}\sqrt{6}

Das stimmt alles soweit.

was offensichtlich nicht der Zimmermannsregel entspricht,
denn laut dieser Regel soll entweder b oder h 2/3 von r sein.

Wo steht das? In der Aufgabenstellung jedenfalls nicht.
Die in dieser angesprochene Zimmermannsregel, ist doch eine grafische Lösung, bei der der Zimmermann nicht wissen muss, in welchem Verhältnis b oder/und h zu r stehen sollte.

Es hilft dir sicher, wenn du dir zur Hilfe eine Skizze machst.

Danke für den Tipp, aber das hatte ich bereits getan.
Ich komme zeichnerisch und rechnerisch auf die gleiche Lösung.

[Pontius]

Nachtrag
Weil bei h/b=sqrt2/1 die Tragfähigkeit des Balkens höher und der Verschnitt geringer wäre, als bei h/b=sqrt8/1, könnte dies - unter Berücksichtigung der Vorgaben - doch gar nicht stimmen.
Welchen Sinn hätte in diesem Fall die 2/3r-Regelung?

[Hendrik_70c5fb]

laut dieser Regel soll entweder b oder h 2/3 von r sein.

Wo steht das? In der Aufgabenstellung jedenfalls nicht.

Im ersten Beitrag des Fragestellers stand

[14:20:12] Geno J.: Zimmermannsregel: zeichne auf eine
kreisförmige querschnittsfläche des baumstammes einen
durchmesser; teile diesen in drei gleiche teile; ziehe in
jedem teilpunkt die senkrechte zum durchmesser; so ergibt sich
der Balkenquerschnitt

Offensichtlich ist die Höhe (oder Breite) eines auf diese Weise erzeugten Balkens 1/3 des Durchmessers, also 2/3 des Radius’.

Ich bin übrigens davon ausgegangen, dass der Balkenquerschnitt rechteckig ist, dass also die Rundungen an den Seiten noch abgeschnitten werden. Falls das nicht so ist, wäre die Breite des Balkens einfach der Durchmesser des Baumstamms, also 2r. Aber auch dann komme ich nicht auf dein Verhältnis von 1/sqrt(2).

Vielleicht reden wir auch einfach aneinander vorbei und meinen unterschiedliche Sachen. Ich hoffe jedenfalls, dass sich das Problem des Fragestellers inzwischen gelöst hat.

Gruß,

hendrik

[Martin]

Hallo Hendrik,

was offensichtlich nicht der Zimmermannsregel entspricht, denn
laut dieser Regel soll entweder b oder h 2/3 von r sein.

nein, die Zimmermannsregel will so verstanden werden:

Zeichne einen Kreis und danach dessen Durchmesser waagerecht mittendurch. Die beiden dadurch entstehenden Schnittpunkte seien A und C. Teile den Durchmesser in drei gleiche Teile und ziehe in jedem Teilpunkt die Senkrechte. Das liefert vier Schnittpunkte mit dem Kreis: Oben links B, unten links B’, oben rechts D, unten rechts D’. Dann ist das A-B-C-D’-Rechteck (genauso wie das dazu spiegelbildliche A-B’-C-D-Rechteck) der gesuchte Balkenquerschnitt*.

Es ist also nicht das (ziemlich schmale) B-D-B’-D’-Rechteck gemeint, obwohl man „so ergibt sich der Balkenquerschnitt“ durchaus auch so interpretieren könnte. Vielleicht kennen die Zimmermannsleute noch andere Regeln nach dem gleichen Schema, so dass sie es aufgrund von Vorwissen gleich richtig verstehen.

Gruß
Martin

[Pontius]

laut dieser Regel soll entweder b oder h 2/3 von r sein.

Wo steht das? In der Aufgabenstellung jedenfalls nicht.

Im ersten Beitrag des Fragestellers stand

[14:20:12] Geno J.: Zimmermannsregel: zeichne auf eine
kreisförmige querschnittsfläche des baumstammes einen
durchmesser; teile diesen in drei gleiche teile; ziehe in
jedem teilpunkt die senkrechte zum durchmesser; so ergibt sich
der Balkenquerschnitt

Offensichtlich ist die Höhe (oder Breite) eines auf diese
Weise erzeugten Balkens 1/3 des Durchmessers, also 2/3 des
Radius’.

Offensichtlich ist es nur, wenn man diese hier nicht klar formulierte Regel, falsch interpretiert.
Bei „deinem“ Rechteck hast du den Durchmesser in 3 Teile geteilt und die Schnittpunkte der in diesen Teilungspunkten errichteten Senkrechten mit dem Kreisumfang, als Ecken des Recktecks angesehen.

Bei „meinem“ Rechteck bilden aber nur die Schnittpunkte von zwei entgegengesetzten Teilungssenkrechten mit dem Kreisumfang 2 Eckpunkte des Recktecks, die beiden anderen sind die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreisumfang.

Ich bin übrigens davon ausgegangen, dass der Balkenquerschnitt
rechteckig ist, dass also die Rundungen an den Seiten noch
abgeschnitten werden.

Ich auch.

Aber auch dann komme ich nicht auf dein Verhältnis von
1/sqrt(2).

Wenn der Querschnitt rechteckig ist und die Zimmermannsregel richtig interpretiert wird, sollte man darauf kommen.
Übrigens, hast du doch selbst beschrieben, wie diese Aufgabe mathematisch zu lösen ist. Und wenn man deinem Lösungsvorschlag folgt, kommt man doch zum gleichen Ergebnis.

Vielleicht reden wir auch einfach aneinander vorbei und meinen
unterschiedliche Sachen.

Ja, so war es offensichtlich.