Extremwertaufgabe

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
Muss schon wieder um Unterstützung bitten. Bin da wieder auf einem Punkt, wo ich im Zweifel bin. Also:
Text:
Ein geschlossener, zylindrischer Behälter mit einer Seite halbrunden Boden (Halbkugel), soll das Maximale Volumen haben. Vorgegeben ist die Oberfläche O die 3m² haben soll, sowie Höhe h des Zylinders und der Radius r des Zylinders und der Halbkugel.
Gesucht ist das Volumen: Hauptbedingung HB:

Vmax = (pi * r^2 *h) + (2/3pi * r^3)
Vmax = V(r,h) --------->Funktion von r,h

Nebenbedingung NB:
3m² = (2pi * r * h) + (pi * r^2) + (2pi + r^2)

Jetzt habe ich versucht das h nach r zu bringen:
h = [3 – (pi * r^2) – (2pi * r^2)] / (2pi * r)

Dieser Term wird für h in der HB eingesetzt:
Vmax = pi * r^2 * {[3 – (pi * r^2) – (2pi * r^2)] / (2pi * r)} + (2/3 * pi * r^3)

Nun frage ich einfach einmal: ist die Suche nach dem maximalen Volumen bis hierhin richtig?
Vielleicht gibt es da einen einfacheren Weg für das maximale Volumen? Was meinst Ihr dazu?
Vielen Dank,
Karl

#2

Moin,

Ein geschlossener, zylindrischer Behälter mit einer Seite
halbrunden Boden (Halbkugel), soll das Maximale Volumen haben.
Vorgegeben ist die Oberfläche O die 3m² haben soll, sowie Höhe
h des Zylinders und der Radius r des Zylinders und der
Halbkugel.

naja, schlecht formuliert. Vorgegeben ist nur die Oberfläche. Höhe h und Radius r sind gesucht.

Nebenbedingung NB:
3m² = (2pi * r * h) + (pi * r^2) + (2pi + r^2)

OK, aber die letzten beiden Terme kannst Du doch gleich zusammenfassen zu 3*Pi*r^2.

In der Endformel kannst Du dann noch ein Pi und ein r kürzen, ansonsten stimmt es aber.
Na dann los, die Ableitung ist nicht schwer.

Olaf

#3

Hallo,

Ein geschlossener, zylindrischer Behälter mit einer Seite
halbrunden Boden (Halbkugel), soll das Maximale Volumen haben.
Vorgegeben ist die Oberfläche O die 3m² haben soll, sowie Höhe
h des Zylinders und der Radius r des Zylinders und der
Halbkugel.

Tipp: Allen produzierten Ausdrücken immer sofort die kompakteste und/oder rechentechnisch vorteilhaftste Form geben, die möglich ist (Beispiel: Für eine Ableitung ist S/2 r – 5/6 π r3 vorteilhafter als r (S/2 – 5/6 π r2), denn der zweite Ausdruck verlangt die Anwendung der Produktregel). Dann behält man leichter die Übersicht, erspart sich unnötige Arbeit und reduziert die Gefahr von Fehlern.

V(h, r) = π r2 h + 2/3 π r3

S(h, r) = 2 π r h + π r2 + 1/2 · 4 π r2 = π r (2 h + 3 r)  (S = Oberfläche, engl. surface)

⇒ h = S/(2 π r) – 3/2 r

⇒ V(S, r) = … = S/2 r – 5/6 π r3

⇒ V’® = S/2 – 5/2 π r2

V’® = 0 ⇔ S – 5 π r2 = 0 ⇔ r = √(S/(5 π))

S = 3 m2 laut Aufgabenstellung ⇒ r ≈ 0.437 m

Gruß
Martin

#4

Hallo martin
mach es dir doch nicht so kompliziert,
einmal den zylider berechnen:
(wandstärke für nettoinhalt abziehen)
also radius x radius mal 3,14 x höhe ist gleich inhalt,
dann halbkugel:
(wieder ohne wandstärke)
durchmesser x durchmesser x durchmesser x 0,523 ist gleich inhalt Kugel (die 0,523 vereinfacht jede kugelberechnung)
geteilt durch 2 ist gleich halbkugel
halbkugel plus zylinder und fertig

gruß franz

MOD: Vollzitat gelöscht.

#5

Hallo Franz,

mach es dir doch nicht so kompliziert,
einmal den zylider berechnen:
(wandstärke für nettoinhalt abziehen)
also radius x radius mal 3,14 x höhe ist gleich inhalt,
dann halbkugel:
(wieder ohne wandstärke)
durchmesser x durchmesser x durchmesser x 0,523 ist gleich
inhalt Kugel (die 0,523 vereinfacht jede kugelberechnung)
geteilt durch 2 ist gleich halbkugel
halbkugel plus zylinder und fertig

dem entspricht die erste Zeile meiner Rechnung:

V = π r2 h + 1/2 · 4/3 π r3

Karls Aufgabe lautete aber nicht „Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit einem halbkugeligen Ende“ sondern (sinngemäß) „wie muss man zu einer vorgegebenen, festen Oberfläche eines derartigen Zylinders seinen Radius wählen, damit sein Volumeninhalt maximal wird“. Um das herauszufinden sind die restlichen Zeilen der Rechnung notwendig. Einverstanden? :smile:

die 0,523 vereinfacht jede kugelberechnung

Wenn man böswillig wäre könnte man allerdings auch sagen, sie macht sie (ein bisschen) falsch, denn π/6 sind ja nicht 0.523, sondern 0.523598775… Der Fehler beträgt somit über ein Promille. Für z. B. eine Präzisions-Kugellager-Kugel wäre das keinesfalls akzeptabel.

Gruß
Martin

#6

Also die Oberfläche ist bekannt (Ao) und die Formel für die Oberfläche ist fast richtig.(in der letzten Klammer muss ein ‚*‘ nicht ‚+‘ stehen, aber war sicher ein Tippfehler)
Ao = 2pi*r*h + pi*r² + 2pi*r² =! 3m²

Wenn du das Volumen maximieren willst, dann solltest du versuchen das Volumen so hinzubekommen dass:

V(r,h) --> V® oder V(r,h) --> V(h)

dann die Ableitung nehmen und das r oder h bestimmen, für das V maximal wird. Die andere Größe (r oder h) kannst du wieder über die Oberflächenformel berechnen

Wie machst du das Volumen nur von einem Parameter abhängig?
Du benutzt die Oberflächenformel. Diese Formel beinhaltet einen Zusammenhang zwischen r und h. Diesen kannst du für die Volumenformel ausnutzen.

Ich habe r = Wurzel[Ao/5pi] herausbekommen und alles andere wäre leicht, aber verlass dich nicht auf mein Ergebnis. Vielleicht habe ich einen Schusselfehler gemacht, also einfach nachrechnen :wink:

Viel Erfolg

PS.:
Diese Formel sieht nicht richtig aus, weil du h ~ 1/r hast.
h ist aber eine Länge, genau wie r, so dass das hier also nicht stimmen kann:
h = [3 – (pi * r^2) – (2pi * r^2)] / (2pi * r)

MOD: Vollzitat gelöscht.