Liebe Community!
Ich bitte euch um Hilfe in einer mathematischen Problemaufgabe!
Der oben offenen Abfülltrichter eines Zementsilos besteht aus einen Drehzylinder, an den unten ein Drehkegel (mit vernachlässigbarer Abfüllöffnung) anschließt. Die Höhe des Zylinders beträgt 0,25m, die Länge der kegelerzeugenden Mantellinie 3m.
Gesucht Radius des Zylinders, sowie die Höhe h des Drehkegel! (Maximum)
Ich wäre für jeden Denkanstoß sehr dankbar.
MfG Christian
Idee:
Wg. Pythagoras: r² + h² = 9m²
nach r auflösen, dann für r=f(h) Maximum bestimmen.
Analog für maximale Höhe.
Hallo Christian,
zunächst musst Du einen Ansatz (Zielfunktion oder Hauptbedingung genannt) aufstellen. Wenn ich die Aufgabenstellung richtig interpretiere, ist der Trichter mit maximalem Volumen gesucht. Der Trichter besteht aus einem zylindrischen Teil und einem kegelförmigen Teil und hängt von zwei Variablen ab, nämlich dem Radius des Zylinders und der Höhe des Kegels.
Die Volumenformel ergibt sich damit mit folgender Zielfunktion:
ZF: V(r,h) = r^2*pi*0,25 + (1/3)*r^2*pi*h
Nun fehlt noch eine Nebenbedingung, die sich aus der Angabe der Mantellinie des Kegels ergibt. Beim Schnitt durch den Kegel sieht man, dass im rechtwinkligen Dreieck, das durch r, h und s gebildet wird, folgende Bedingung gilt:
3^2 = r^2 + h^2 (Satz des Pythagoras).
Diese Nebenbedingung kann man nach r^2 umstellen und dann in die Zielfunktion einsetzen:
r^2 = 9 - h^2
In ZF eingesetzt ergibt sich eine Volumenformel, die nur noch eine Variable, nämlich h enthält. Diese Formel kann anschließend mit Hilfe der Differenzialrechnung auf Extremwerte untersucht werden. Es ergibt sich:
V(h) = (9-h^2)*0,25pi + (1/3)*pi*h*(9-h^2)
Nach Ausmultiplizieren und Sortieren nach h-Potenzen ergibt sich eine ganzrationale Funktion 3. Grades:
V(h) = (-1/3)*pi*h^3 - 0,25pi*h^2 + 3pi*h + 2,25pi
Ableiten ergibt:
V’(h) = -pi*h^2 - 0,5pi*h + 3pi
V’’(h) = -2pi*h - 0,5pi
Setzt man nun V’(h) = 0, so ergibt sich
-pi*h^2 - 0,5pi*h + 3pi = 0 |:frowning:-pi)
h^2 + 0,5h - 3 = 0 |Lösung mit p-q-Formel
h1/2 = -0,25 ± wurzel(1/16 + 48/16)
h1 = -0,25 - 7/4 = -2
h2 = -0,25 + 7/4 = 3/2
Da der negative Wert nicht realistisch ist, kann er in der weiteren Betrachtung vernachlässigt werden. Er könnte aber rein mathematisch gesehen mit V’’(h) auf Minimum oder Maximum untersucht werden.
Für h2 = 3/2 ergibt sich:
V’’(3/2) = -3,5pi Max (1,5 / V(1,5))
Setzt man h = 1,5 in V(h) ein, so erhält man etwa 15,904. Da von Anfang an mit der Einheit m gerechnet wurde, sind dies 15,904 m^3 oder 15904 Liter.
Für r erhält man beim Einsetzen durch Wurzelziehen den Wert r = 1,5*Wurzel(3) = 2,60 [m].
Zusammenfassend die drei Größen bei maximalem Volumen:
r max = 2,60 m
h max = 1,50 m
V max = 15,904 m^3.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viele Grüße
funnyjonny
Hi,
also ich geh davon aus, dass das Volumen maximiert werden soll. Dann wäre die Herangehensweise folgendermaßen:
Das Volumen des Kegels ist:
V_{Kegel} = \frac{1}{3} r^2 \pi h
Das Volumen des Zylinders ist:
V_{Zylinder} = r^2 \pi H
Der Zusammenhang zwischen Mantellinie und Radius ist:
s = \sqrt{r^2 + h^2}
aus der Angabe wissen wir:
s = 3\quad H=0,25
also ist:
r = (9 - h^2)
wenn man nun das Gesamtvolumen durch addition berechnet und r einsetzt kommt man auf:
V_{ges} = -\frac{1}{3} \pi h^3 - \frac{1}{4} \pi h^2 + 3 \pi h + \frac{9}{4} \pi
das kann man jetzt ableiten und für den Extremwert gleich Null setzen. Dann kann man h ausrechen (nur das positive macht Sinn) und das dann wieder in die Formel für die Mantellinie einsetzen um r zu bekommen. Ich komme auf h = \frac{9}{8}
Gruß, Jakster
Male Dir das auf ("Schnittzeichnung)
Du erkennst :
V=Vzyl +Vkeg= Pi *r hoch 2 *2,5 + 1/3 *pi r hoch 2 * hkegel
Dem Pythagoras entnimmst Du: r hoch 2 + h hoch 2 = 9
Also kannst Du r hoch 2 in Deiner Gleichung V =… ersetzen, so dass Du V nach der einzigen Unbekannten hkegel ableiten kannst. Weiter wie gewohnt
Gruß von Max
Hausaufgabe?
Ich nehme mal an, das Volumen soll maximal sein?
Im Folgenden lasse ich die Einheiten weg.
Das Volumen eines Zylinders ist bekanntlich pi r^2 h_Z,
hier also 0,25 pi r^2.
Das Volumen eines Kegels ist bekanntlich 1/3 pi r^2 h_K. (Radien des Zylinders und des Kegels sind gleich groß, also können wir beide mit r bezeichnen). Radius und Höhe eines Kegels hängen mit der Mantellinie s über den Satz des Pythagoras zusammen: s^2 = r^2 + h_K^2. Also ist V_K = 1/3 pi r^2 Wurzel(9 - r^2).
Insgesamt:
V = pi r^2 (0,25 + 1/3 Wurzel(9 - r^2) ).
Diese Funktion soll in Abhängigkeit von r maximal
werden (wobei r natürlich größer als 0 und kleiner
als 3 sein muss). Rest ist klar, hoffe ich?
(die Rechnung ist nicht ganz trivial…)
Alternativ (und _deutlich_ einfacher!):
r^2 = 9 - h_K^2 benutzen und V als Funktion von h_K darstellen:
V = 0,25 pi (9 - h_K^2) + 1/3 pi (9 - h_K^2) h_K,
wobei h_K größer als 0 und kleiner als 3 sein muss.
Ich gehe davon aus, das nach dem Radius aus dem sich das Maximalvolumen ergibt gefragt ist.
Da die Mantellinie 3m misst, bewegt sich der Radius zwischen 0 und 3 m. Dabei ist das Volumen an diesen Stellen jeweils 0.
Zur Lösung dieser Aufgabe wird eine Extremalbedingung benötigt (V=max)
V= V(Kegel)+V(Zylinder)
und eine Nebenbedingung: 3^2=h(Kegel)^2+r^2
Nebenbedingung umstellen und in Extremalbedingung einsetzen, sodass h(Kegel) verschwindet.
Daraus ergibt sich eine Funktion f®=V
Extremwerte berechnet man mit f’®=0 wobei für ein Maximum auch f’'®
h=1,5m; r=1,5*Wurzel(3)m; V = 198*pi/16 m^3
Lässt sich mit DERIVE ganz einfach ausrechnen.
Hallo!
Meiner Ansicht nach ist die Aufgabe so nicht lösbar.
Es fehlt noch irgendeine weitere Angabe.
Tut mir leid, dass ich nicht helfen kann!
H. Jäger
Liebe Community!
Ich bitte euch um Hilfe in einer mathematischen
Problemaufgabe!
Hallo.
Worauf bezieht sich die Aussage „Maximum“ - soll der Radius oder die Höhe des Drehkegels maximiert werden?
Denkbar wäre aus meiner Sicht z.B. den Radius zu maximieren (das wäre dann genau die Mantellinie).
Aus meiner Sicht ist die Aufgabe noch recht unsauber definiert - aber möglicherweise haben andere Mitglieder bessere Ideen 
Viele Grüße.