Hallo,
versuche mein Können über Extremwertprobleme zu erweitern.
Die Aufgabe lautet:
Einem Drehkegel (r=8 dm, h=15 dm) sollen ein Drehzylinder und eine darauf ruhende Kugel so eingeschrieben werden, dass die Summe beider Volumina ein Maximum wird.
Berechne den Rauminhalt der beiden Körper.
Zu meinem Ansatz:
HB: Volumen (Zylinder + Kugel) = pi * x^2 * y + 4/3pi * r^3
In der NB habe ich den Zylinder mit xy beschriftet. ZB.: h/r = y/r-x
Nun weiß ich aber nicht, welche Variable ich für die Kugel einsetzen soll und ob man hier weiterhin mit den Strahlensatz arbeiten kann? Wenn ja, wie?
Wie kann man da den Radius r der Kugel in der Variable x oder y ausdrücken?
Vielen Dank, Karl
Du muss die gegebenen Zahlen noch einbauen
Wenn ich Deine Planfigur richtig verstanden habe und keinen Denkfehler gemacht habe wäre hier noch dieser Strahlensatz fällig.
höhe des Zylinders / Radius der Kugel = höhe des Kegels / radius des Kegels
Hallo,
mal ein Schnittbild der Angelegenheit und kennzeichne folgende Punkte:
A/B/C = Kegelspitze/-bodenmittelpunkt/-bodenrandpunkt
D = Kugel-Zylinder-Berührpunkt
E = Zylinder-Kegelwand-Berührpunkt
M = Kugelmittelpunkt
N = Kugel-Kegelwand-Berührpunkt
(mit C, E, N auf derselben Seite)
Nun gilt es zu erkennen, dass die Dreiecke ΔADE und ΔABC und ΔAMN alle zueinander ähnlich sind, weil sie alle dieselben Innenwinkel haben, nämlich den Kegel-Öffnungswinkel im Punkt A (gemessen gegen die Kegelmittelachse), einen rechten Winkel (in B, D und N) und der noch jeweils fehlende dritte Winkel ist dann automatisch auch identisch.
Wie kann man da den Radius r der Kugel in der Variable x oder y ausdrücken?
Es ist in der Tat etwas knifflig, den Kugelradius R herauszubekommen. Sei d := |AD| und L := |AN|. Betrachte nun die Strecke AM. Sie ist d – R lang, andererseits ist AM aber auch die Hypothenuse von ΔAMN und somit nach Pythagoras √(R2 + L2) lang. Außerdem weißt Du auch noch, dass wegen der Ähnlichkeit von ΔABC und ΔAMN die Verhältnisse L/R und h/r übereinstimmen. Das sind zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (R, L) und damit kannst Du R klarmachen:
d - R
= \sqrt{R^2 + L^2}
= \sqrt{R^2 + (R h/r)^2}
= R \sqrt{1 + (h/r)^2}
\Rightarrow\quad
R = \frac{d}{\sqrt{1 + (h/r)^2} + 1}
Der Zylinder ist angenehmer: Radius = d r/h und Höhe = h – d. Damit kannst Du die Funktion Vges(d) aufstellen.
Wie bei dieser Konstruktion nicht anders zu erwarten, bekommst Du als Ergebnis für dmax einen etwas strange aussehenden Ausdruck:
d_{\rm max}
= \frac{h}{\frac{3}{2} - \frac{2 s^2}{(\sqrt{1 + s^2} + 1)^3}}
\quad\textnormal{mit}\quad
s := h/r
Gruß
Martin
vielen Dank Martin,
alles klar, das war nun ausreichend.
Gruß, Karl