Extremwerte berechnen

[RSS88]

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f(x) = (2x-4)/(x²-3)

Man berechne die Extremwerte (ohne Max./Min. Prüfung)"

Soweit so gut… nun habe ich mich an die Aufgabe (die so in der Art in meiner bevorstehenden Klausur drankommen könnte) gewagt.
Um die Extremwerte herauszufinden, muss ich ja die ersten drei Ableitungen der Funktion bilden. Hier wendet man die Quotientenregel an, richtig?
Habe ich getan und bspw. als erste Ableitung heraus:

y’ = (-2x²-8x-6)/(x⁴-6x²+9)

Nun bin ich mit diesen Aufgaben noch nicht allzu vertraut, doch mit der Quotientenregel, dem Vereinfachen und dem Anwenden der bin. Formel im Nenner dauerte, allein die erste Ableitung schon etwas Zeit. Weiter habe ich mich an die zweite Ableitung gemacht und die Ausdrücke werden hier nicht unbedingt simpler.
Da dies nur eine Teilaufgabe einer Aufgabe einer Klausur sein könnte, frage ich mich, ob ich den richtigen Weg gehe oder ob es andere Wege gibt, um die Extremwerte herauszufinden. Die zweite Ableitung (ohne Vereinfachen, usw.) nimmt bereits diese Form an:

y’’ = ((-4x-8) * (x⁴-6x²+9)-(4x³-12x)*(-2x²-8x-6)) / ((x4-6x2+9)²)

Vielleicht gibt es ja einige Hinweise und Tipps, wie ich schneller/einfacher (sofern möglich) diese Aufgabe lösen kann, ohne soviel Zeit für die Bildung der Ableitungen zu verlieren.

Ich danke bereits für jede Hilfe!

Reiner

[Safrael]

"Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion f(x) = (2x-4
)/(x²-3)

Man berechne die Extremwerte (ohne Max./Min. Prüfung)"

Also man soll nur die Stellen bestimmen wo die Steigung 0 ist und nicht unterscheiden ob es sich bei den Stellen um Hoch-/Tief-/Sattelpunkte handelt.

Vielleicht gibt es ja einige Hinweise und Tipps, wie ich
schneller/einfacher (sofern möglich) diese Aufgabe lösen kann,
ohne soviel Zeit für die Bildung der Ableitungen zu verlieren.

-Man muss nur die notwendige Bedingung durchführen und dafür benötigt man nur die erste Ableitung, man spart Zeit wenn man die nicht benötigten Ableitungen gar nicht macht.
-Andererseits, wenn man sie macht weil man sie höchstwahrscheinlich in folgenden Aufgaben benötigt spart man Zeit weil man gerade im Rechenfluss ist und man sie an den anderen Stellen nicht mehr machen braucht. Dann muss man sich aber im klaren sein, dass man bei Aufgabe a sehr viel Zeit braucht und in Aufgabe c und d kaum Zeit braucht. Dadurch kann der Eindruck entstehen, das man zu langsam sei,
-Wenn man die hinreichende Bedingung doch mal durchführen will kann man das entweder über die Krümmung machen wozu man die 2te Ableitung benötigen würde, oder man wendet das Vorzeichenwechselkriterium an womit man nur die erste Ableitung benötigt.
-Ich habe Deine Ableitungen nicht überprüft. Aber es ist immer besser den Nenner nicht auszumultiplizieren und einfach Klammern drum und den Exponenten drüber zu lassen.
-Wenn richtig abgeleitet wurde kann man in der 2ten und dritten Ableitung jeweils kürzen, weil beiden Teile der Differenz im Zähler gleiche Glieder besitzen die auch im Nenner stehen

[RSS88]

Wenn ich zunächst nur die erste Ableitung benötige, dann setze ich diese ja gleich 0, ermittle den x-Wert und setze den dann in die Ursprungsfunktion ein, korrekt?

Wenn ich diese Rechnung anfertige:

(-2x^2 - 8x - 6) / (x^4 - 6x^2 + 9) = 0 [Mit dem Nenner multiplizieren]

-2x^2 - 8x - 6 = x^4 - 6x^2 + 9

-x^4 + 4x^2 - 8x = 15

Ist dies soweit korrekt? Weiß leider nicht, wie ich nun schlussendlich x = … erhalte, also wie ich die ^4 und ^2 weg bekomme.

Gerne lese ich hier weitere Ratschläge! Kann mich nur 1000x bedanken!

Reiner

[Safrael]

und setze den dann in die Ursprungsfunktion ein, korrekt?

Für den y-Wert, ja.

(-2x^2 - 8x - 6) / (x^4 - 6x^2 + 9) = 0 [Mit dem Nenner
multiplizieren]

0 mal irgendwas ist 0
-2x^2 - 8x - 6 = 0
weiter lösen mit pq-Formel

[RSS88]

Hab’ mich selbst gerade erwischt, wie ich mir an den Kopf haue…
Na klar… „0 mal irgendwas ist 0“!!! DANKE!
Rechne jetzt weiter! =)

[Martin]

Hallo,

(-2x^2 - 8x - 6) / (x^4 - 6x^2 + 9) = 0 [Mit dem Nenner multiplizieren]

-2x^2 - 8x - 6 = x^4 - 6x^2 + 9

zwei Fehler: Die „–8x“ muss eine „+8x“ sein und die rechte Seite bleibt die Null, die sie schon vorher war, denn 0 · irgendwas = 0 (nicht verwechseln mit 1 · irgendwas!).

Die Nullstellen von x² – 4x + 3 bekommst Du mit der pq-Formel raus, aber „raten“ ist hier sicher auch erlaubt (welche ganzzahligen Teiler hat 3?).

Gruß
Martin

[Safrael]

Hab mal die Ableitung überprüft.
Im Zähler ist ein Vorzeichenfehler

2*(x^2-3) - (2x-4) * 2x
=2x^2-6-4x^2+8x
=-2x^2+8x-6

Die erste ABleitung lautet somit:
f’(x)=(-2x^2+8x-6)/(x^2-3)^2

[RSS88]

Habe nun weiter gerechnet und erhalte die Werte x1 = 3 und x2 = 1 ,
dies in die Ursprungsformel eingesetzt erhalte ich die Punkte P1 (3 / 1/3) und P2 (1/1).

Wenn keine Max./Min. Prüfung erforderlich ist und ich die zweite Ableitung nicht für weitere Aufgabenteile benötige, wäre hiermit die Aufgabe erledigt, richtig?

Habt mir super viel geholfen! Vor allem habe ich 'ne Menge gelernt. Hat oft „Klick“ gemacht! =) DANKE!

[armin_pieroth]

Hallo.
Ich bin da auch nicht mehr so ganz firm, feiere gerade 50 Jahre Abi.
Müsste der Zähler der ersten Ableitung nicht -2x² + 8x - 6 lauten?
Für die Minima/Maxima reicht es da nicht, die erste Ableitung (Zähler) Null zu setzen? Sie lägen dann bei x =  +1 und +3 und y = -2/3 und 5/3.(Trotzdem prüfen, ob dann nicht der Nenner 0 wird!) Die 2. und 3. Ableitung brauchst Du nur, um Minimum oder Maximum oder Wendepunkt zu festzustellen. Das geht gewöhnlich einfacher, indem Du die y-Werte kurz unter und über den x-Werten berechnest, insbesondere bei Funktionen von x im Nenner. (Z.B. für x=0,5; 2; 4.) und mit den y-Werten der Extrema vergleichst. Mit der 2. und 3. Ableitung der gegebenen Gleichung kannst Du ganze Seiten füllen, im Rahmen einer Klausur wirst Du damit kaum fertig.
Ich hoffe, ich habe mich nicht allzu sehr verrechnet.
Beste Grüße, Armin.