Fahrradunfall mit eigenem Kind - Haftplicht?

Hallo zusammen,

kurz ein Unfall geschildert:
Fahrradausflug mit eigenem Kind Kleinen (5 Jahre). Kind bremst unvermittelt, der Vater in ihn rein und beide stürzen. Kind hat sich Arm gebrochen, daher mit RTW ins Krankenaus zur ambulanten Behandlung. Polizei ist nach dem Notruf gleich mit dazugekommen und hat den Unfall aufgenommen.

Nun zum Versicherungsrechtlichen Teil:
Die ganze Familie ist privat krankenversichert. Wenn nun die Rechnungen bei der Versicherung eingereicht werden will die Versicherung einen Unfallbericht mit der Frage ob ein Dritter (in dem Fall der Vater) schuld ist.
Eine Unfallversicherung für den Kleinen existiert nicht.

So gesehen ein Haftpflichtfall. Nur gibt es doch die Klausel, dass bei Schäden an Sachen und Personen im gleichen Haushalt die Haftpflicht nicht leistet.

Wie ist jetzt hier die Rechtslage? Bei diesem Unfall sind die Kosten überschaubar, aber was wäre bei schlimmeren folgen (z.b. stationärer Aufenthalt, kompliziertere Operation etc…)

Danke für Eure Antworten!

Beste Grüße Ralf