Faktorisieren bzw. Ausklammern durchführen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi ich zerbrech mir schon seit gestern den Kopf.
Also ich soll:

n² + 3n + 2

soweit wie möglich Faktorisieren ich kenne zwar die Lösung aber ich weis nicht welche Schritte dazu notwendig sind.

Wäre toll wenn ihr mir die dazu benötigten Schritte erklären könntet. Bitte möglichst detailliert die Schule is schon ein bisschen länger her^^

Ps auf der Seite http://www.mathe-paradies.de/mathe/faktorisieren/ind… gibt es einen online Rechner der das richtige Ergebnis liefert. Aber wie oben erwähnt habe ich keine Ahnung wie der Rechner auf die Lösung kommt^^

#2

Hi,
wenn es nur um Polynome zweiten Grades geht, also allgemein x² + rx + s, dann kann man sich folgendes herleiten:

Die Faktorisierung muss die Form (x + a)(x + b) haben. Es ist (x + a)(x + b) = x² + (a+b) x + ab. Also: r = a + b und s = ab. Aus diesem Gleichungssystem ergibt sich:

a = r/2 +/- sqrt(r²/4 - s)
b = r - d

(Wobei sqrt die Quadratwurzel ist.)

Für das Beispiel n² + 3n + 2 ergeben sich die folgenden Lösungen:

(1) a = 3/2 + sqrt(3²/4 - 2) = 2
(1) b = 3 - 2 = 1

(2) a = 3/2 - sqrt(3²/4 - 2) = 1
(2) b = 3 - 1 = 2

(Beide sind äquivalent, da a und b nur vertauscht sind.)

Ich hoffe, das hilft fürs Erste. Bei Polynomen höheren Grades wirds komplizierter.

#3

Hallo Tux 86

ich hab leider bei dieser Mathe-Homepage das Ergebnis nicht rausgekriegt, bin leider schon an der Eingabe gescheitert. Also hab ich nun 2 mögliche Lösungen für Dich, vielleicht stimmt ja eine von den beiden:

Variante 1: n(n+3)+2
dabei wäre nur das n ausgeklammert.
Variante 2: (n+1,5)²-0,25

wenn das stimmt, löst man die binomische Formel so auf:

(n+1,5)(n+1,5)-0,25

n²+1,5n+1,5n+1,5²-0,25

n²+3n+2,25-0,25

n²+3n+2

War das eine Hilfe?

Ich hoffe! Ansonsten kann ich leider auch nicht weiterhelfen!
Schönen Feiertag noch!

C.J.

#4

Hallo,

Zunächst müsste man die quadratische Gleichung lösen.
ich würde hierfür die sog. pq-Formel benutzen (http://www.pqformel.de/).

Dazu setzt man x² + 3x + 2 = 0
Daraus leitet sich ab: x² + px + q = 0
p = 3
q = 2

Eingesetzt in die pq-Formel erhält man schließlich
x1 = -1
x2 = -2

Diese beiden Werte setzt man hier ein:
(x - x1) * (x - x2)

Heraus kommt dann letztendlich:
(x + 1) * (x + 2)

#5

Hallo,
es gibt 3 Möglichkeiten aus einer Summe(Differenz) ein Produkt zu machen:

  1. Ausklammeern
    Geht hier leider nicht, da nicht alle Summanden einen gemeinsamen Teiler haben wie beispielsweise hier:
    6m³ + 4m - 8m² = 2m(3m²+2-4m)
  2. Binomische Formel
    Geht hier leider auch nicht, da keine Quadratzahl vorkommt!
    zur Erinnerung: a²+2ab+b²=(a+b)²
  3. Satz von Vieta:
    die 3 gliedrige Summe ist das Produkt aus zwei Klammern wie hier:
    Struktur:
    (a+b) *(c+d) = ac+ad+bc+bd
    Zwei Gleider davon lassen sich noch zusammenfassen.

hier also:
n²+3n+2 = (n + x) * (n + y)
da in der Summe nur ±Zeichen auftauchen, stehen in den Klammern auch nur ±Zeichen. Andernfalls müsste es mit einem oder mit 2 Minus-Zeichen in den Klammern probieren.
Also hier gilt es jetzt durch geschicktes Probieren x und y herauszufinden. Dabei gilt:

  1. 3 muss die Summe aus x und y sein
    und 3. 2 muss das Produkt aus x und y sein.
    Beim Ausrechnen der Beiden Klammern ergibt sich das so, was leicht nachzupürüfen ist.
    Also 1. x+y=3 und 2. x*y=2
    Da bleibt dannnicht mehr viel übrig, da 2 nur die Teiler 1 und 2 hat und deren Summe glücklicherweise 3 ist.
    Also die Lösung ist (n+1)(n+2)
    FERTIG
    Es lassen sich überigens nicht alle Summen faktoriesieren, sogar nur die wenigsten, auch wenn es unendlich viele sind. Aber das ist jetzt fast was philosophisches.
    Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.
    Gruß
#6

Hallo Tux86!

Ich hoffe, ich habe richtig die Aufgabenstellung verstanden.

Mit Faktorisieren bezeichnet man den Vorgang des Zerlegens in Faktoren (z.B. 8 = 4*2). Ist ein Polynom gegeben, so soll dieser in Faktoren zerlegt werden (z.B. x^2 - 1 = (x - 1)*(x + 1), die beide Klammerninhalte stellen die Faktoren dar).

Nun, wie geht man dabei vor?
Im Grunde muss man einfach ausprobieren. Es können unterschiedliche Möglichkeiten geben.

Dein Beispiel kann beispielsweise wie folgt auflösen:

n^2 + 3n + 2 = n^2 + 3n + 3 - 1 //ich stelle 2 als (3-1) dar, damit ich 3 ausklammern kann

n^2 + 3n + 3 - 1 = n^2 + 3(n + 1) - 1 //ich klammere 3 aus, rest bleibt unverändert

n^2 + 3(n + 1) - 1 = n^2 - 1 + 3(n + 1) //bequemlichkeitshalber reihenfolge ändern, anschliessend binom-formel anwenden

n^2 - 1 + 3(n + 1) = (n + 1)(n - 1) + 3(n + 1)
// und jetzt kommt die raffinesse: man sieht, die beide teile der summe beinhalten den Faktor (n + 1). Dieser ‚klammern‘ wir aus, als wäre es eine Zahl.

(n + 1)(n - 1) + 3(n + 1) = (n + 1)( (n-1) + 3 ) =
= (n + 1)( n - 1 + 3 ) = (n + 1)(n + 2)

Damit wäre der gegebene Polynom in 2 Faktoren zerlegt.

Ich hoffe, es hat dich weiter gebracht.

#7

Hallo,

für das Faktorisieren brauchst du die Nullstellen der Funktion. Die bekommst du über die Lösungsformel.
x1/2= -p/2 +/- Wurzel((p(2)²-q)
Das ergibt die Lösungen x1=-2 und x2=-1; einsetzen in (x-x1)(x-x2). Daraus folgt

n² + 3n + 2=(n+2)(n+1)

Eine andere Variante- eher für Gleichungen die einen größeren Grad als 2 haben: „rate“ die erste Nullstelle, das geht bei so einfachen Gleichungen schnell, wenn du mit -2,-1,0,1,2 durchprobierst. Da findest du auch bei -1 die Nullstelle. Dann kannst du über Polynomdivioson die 2. Nullstelle berechnen und dann wieder mit beiden Nullstellen faktorisieren.

Ich hoffe das war verständlich? Sonst melde dich nochmal!

Das solltest du wissen/nachlesen: Nullstellen einer quadratischen Funktion; Faktorisierung ; Polynomdivision

VG Mandy

#8

Hallo,

sowas vergisst man auch schnell, wenn man es im normalen Leben nicht braucht.

Der „klassische“ Weg funktioniert über die Nullstellenbestimmung der Funktion f(x)= n² + 3n + 2 mit Hilfe von quadratischer Ergänzung oder pq-Formel. Mit dem Satz von Vieta (falls man den in der Schule gemacht hat) sieht man die Nullstellen auch sofort.

Die Nullstellen sind in diesem Fall N1= -1 und N2=-2 und werden dann in die linearisierte Form (n-N1)*(n-N2) eingesetzt.

Viele Grüße

#9

Wenn ein Ergebnis des Typs (…)*(…) finden willst, kannst du (Das ist der Trick!) die zugehörige Gleichung n² + 3n + 2 = 0 lösen; Ergebnisse n=-1 ; n=-2.
D.h.: Du kannst obige Gleichung in der Form
(n+1)*(n+2)=0 schreiben. Damit hast du dann die zwei Faktoren.

#10

Danke Erstmal von allen Antworten die ich bekommen habe hat mich Ihre am weitesten gebracht^^ Bin quasi fast am Ziel nur eins hab ich noch nicht verstanden.

Also bis zu diesen Punkt ist mir alles klar:

// und jetzt kommt die raffinesse:

Anscheinend hab ich noch ein Problem beim Ausklammern.

Ausklammern mit Zahlen behersche ich also sowas zb.:
18x² + 21x – 12x² + 3x =
3x (6x + 7 – 4x + 1)

aber bei (n + 1)(n - 1) + 3(n + 1) hab ich meine Probleme wenn ich wiefolgt vorgehe komme ich auf:

(n + 1)(n - 1) + 3(n + 1) =
(n + 1) * 1 * (n - 1) + 3 * 1

Meine Überlegung hier war wenn ich (n + 1) : (n + 1)
bekomme 1 deshalb (n + 1) * 1 … und da die Multiplikation mit 1 nichts an der Zahl ändert kann man sie ja weglassen. Also wirds aus

(n + 1) * 1 * (n - 1) + 3 * 1 =
(n + 1)(n - 1) + 3

Mein Ergebnis weicht von Ihren allerdings ab da bei Ihnen die + 3 in Klammer steht

(n + 1)( (n-1) + 3 )

und genau das verstehe ich nicht.
Hoffe Sie können mir nocheinmal helfen.
Mfg Tux86

#11

Ich helfe dir gerne weiter.

Direkt am Anfang ist dir ein Fehler unterlaufen:

(n + 1)(n - 1) + 3(n + 1) = // (n + 1)(n - 1) + 3 (n + 1) =
(n + 1) * 1 * (n - 1) + 3 * 1

An dieser Stelle hast du Klammern vergessen!
Da du etwas _ausklammerst_, muss sichergestellt werden, dass alle Summenglieder, denen was ausgeklammert wurde, stehen in Klammern drin (einfach ausgedrückt).
bsp: 3x\ 2x + 3x\ 1 = 3x(2x + 1)**

Also richtig wäre es so:
(n + 1)(n - 1) + 3(n + 1) =
(n + 1) * ( 1 * (n - 1) + 3 * 1 )

wenn du jetzt wie gewohnt vereinfachst, kommst du zu dem selben Ergebnis wie ich.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen :smile:

wenn
ich wiefolgt vorgehe komme ich auf:

(n + 1)(n - 1) + 3(n + 1) =
(n + 1) * 1 * (n - 1) + 3 * 1

Meine Überlegung hier war wenn ich (n + 1) : (n + 1)
bekomme 1 deshalb (n + 1) * 1 … und da die Multiplikation
mit 1 nichts an der Zahl ändert kann man sie ja weglassen.
Also wirds aus

(n + 1) * 1 * (n - 1) + 3 * 1 =
(n + 1)(n - 1) + 3

Mein Ergebnis weicht von Ihren allerdings ab da bei Ihnen die

  • 3 in Klammer steht

(n + 1)( (n-1) + 3 )

und genau das verstehe ich nicht.
Hoffe Sie können mir nocheinmal helfen.
Mfg Tux86

#12

Vielen dank jetzt ist mir alles klar^^

#13

Das freut mich :smile:
Bitte sher.

Ich wünsche dir weiterhin viel Erolg!

Vielen dank jetzt ist mir alles klar^^

#14

Hallo Tux86,

Du kannst den Term zerlegen, wenn Du ihn Null setzt und dann die Nullstellen berechnest. Die Nullstellen geben Dir dann die Linearfaktoren an, in die Du den Term zerlegen kannst. Hier die Lösung:
n² + 3n + 2 = 0 |p-q-Formel
n1/2 = -3/2 ± Wurzel aus (9/4 - 2)
n1 = -3/2 + 1/2 --> n1 = -1;
n2 = -3/2 - 1/2 --> n2 = -2;

Damit kannst Du dann den Ausgangsterm zerlegen in zwei Linearfaktoren (n - n1)(n - n2) = (n-(-1))(n-(-2)) = (n+1)(n+2)
Sollte die quadratische Gleichung keine Lösungen haben, so gibt es im Bereich der reellen Zahlen (das ist die Zahlenmenge, in der wir in der Regel rechnen) keine Zerlegungsmöglichkeit.

Viele Grüße
funnyjonny

#15

Hallo tux,
hier nachträglich meine offizielle Antwort (ich habe ja
schon per Email geantwortet): pq-formel: nullstellen mit
-p/2±wurzel aus p^2/4-q, also -1,5±Wurzel 3^2/4-2, das ergibt
-1,5±Wurzel 0,25 als nullstellen, also -1 und -2 (p ist 3, q ist 2)
Faktorisiert: (x+1)*(x+2), da man hier die nullstellen einsetzen kann
Gruß Thomas