Fallschirmspringer

Wissenschaft Physik
#1

Ich habe folgendes Problem, vielleicht kann mir jemand helfen:

Ein Fallschirmspringer springt aus einem Heißluftballon ab, der in
der Höhe x=h schwebt. Er erfährt dabei die Kraft:

F= -m*g + b*v^2

Nun meine Fragen:

Wie kann ich eine Bewegungsgeleichung aufstellen (in abhängigkeit von
t=Zeit) um festzustellen an welcher stelle sich der
Fallschirmspringer relativ zum Boden gerade befindet?

Welche Geschwindigkeit hat der Fallschirmspringer nach t Sekunden?
Also irgendeine Funktion v(t)?
Ich glaube es gibt eine Maximalgeschwindigkeit, nämlich dann wenn der
Luftwiderstand gleich groß der Erdanziehung.

Ich würde mich über Antworten von euch freuen!

Tschüss und schönes Wochenende die „trueffelsau“

#2

Dir kann geholfen werden
Die Sache ist relativ einfach, aber viel Rechnerei:

2 Kräfte wirken auf den Springer: Die von der Gravitation hervorgerufene in Richtung auf die Erde zu und die vom Luftwiderstand hervorgerufene (wirkt entgegengesetzt). Die Resultierende (effektiv auf den Springer wirkende) ist die Differenz der Beiden: F = F(fall) - F(luft)
F(fall) = m * g
F(luft) = c(w)/2 * rho * A * v^2 (c(w), Dichte der Luft (rho) und effektive Querschnittsfläche des Springers (A) sind in Deiner Frage zur Konstanten b zusammengefaßt).

kleiner Sprung zu den gewünschten Formeln:

s(t)= 1/2 * a * t^2 (s: Strecke, a: Beschleunigung, t: Zeit)

a ist nun wieder eine Funktion von v:

a= (F(fall)-F(luft))/m -> F(fall) ist ja konstant und F(luft) Fkt. von v (s.o.):

a = (m*g-b*v^2)/m

Zuerst einsetzen in s(t)
Die fehlende Geschwindigkeit bekommst Du:
a = … eingesetzt in v = a * t erhälst Du eine quadratische Gleichung, die Du mit p,q-Formel lösen kannst (habe ich nicht parat).

Nun müßten alle Unbekannten eleminiert sein.

Für Deine gewünschte Gleichung mußt dann noch auf das Bezugssystem aufpassen.
Deine Vermutung bez. v(max) ist richtig:
a = F(fall) - F(luft)/m (s.o.)
wenn die Kräfte gleich werden wird a=0!

Ich hoffe, ich konnte helfen

Gruß Stefan

#3

Man kann es nat"urlich noch komplizierter machen:

W"ahrend der Fallschirmspringer f"allt, dreht sich die Erde unter ihm weg, er landet also etwas weiter westlicher. Ich hab das schon mal gerechnet, hab aber leider im Moment nix zur Hand wo es drin steht. Wenn es dich wirklich interessiert, kann ich mal das Suchen anfangen, da ich dazu aber in die B"ucherei m"usste ist es ein wenig aufwendiger.

#4

Die Sache ist relativ einfach,

Ja, aber nicht ganz so einfach, wie Du sie Dir machst.

s(t)= 1/2 * a * t^2 (s: Strecke, a: Beschleunigung, t: Zeit)

Sorry, aber diese s(t)-Gleichung hat doch in der Lösung dieser Aufgabe nichts zu suchen?!?! Ein ebenso dickes „f“ daneben würdest Du Dir in einer Klausur zu Recht mit

a = … eingesetzt in v = a * t

verdienen. Ich hoffe, Du weißt, wieso.

Mit freundlichem Gruß
Martin

#5

Moin Michaela,
ich glaube, Dir ist da ein kleiner Fehler unterlaufen. Die Erde bewegt sich grundsätzlich NICHT unter dem Fallschirmspringer (oder Flugzeug/Dachziegel etc.) weg, da er sich in einem Medium befindet (Luft), was sich aufgrund der Corioliskraft mit der Erde mitbewegt - es seie denn, die Luftmasse wird bewegt (aufgrund von durch Druckgefällen zwischen Hochs und Tiefs entstehenden Winden).

Gruß
Jan

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#6

Ich habe folgendes Problem, vielleicht kann mir jemand helfen:

Ein Fallschirmspringer springt aus einem Heißluftballon ab,
der in
der Höhe x=h schwebt. Er erfährt dabei die Kraft:

F= -m*g + b*v^2

In dieser Gleichung ist die Kraft stets negativ, da sie nach unten gerichtet ist… für die Rechnung ist es aber besser, wenn man nur den Betrag der Kraft angibt, die die Beschleunigung hervorruft…
F’=-F=mg - bv^2

Für die Beschleunigung gilt dann wegen a=F’/m

a=g - bv^2/m (1)

die Endgeschwindigketi ergibt sich, wenn die Beschleunigung Null wird:
0=g - bv^2/m => ve =sqrt(gm/b)

Geschwindigkeits-Zeitfunktion

da a= dv/dt ist, kann man (1) auch schreiben als

dv/dt = g - bv^2/m

daraus folgt:

dv/(g-bv^2/m) = dv /(1-bv^2/gm) = dv/(1-(v/ve)^2) = dt

Integriergen von 0 bis v auf der linken und von 0 bis t auf der Rechten Seite ergibt wegen
Int dx/(1-x^2)=0,5*ln(x+1/x-1)

ve/2g * ln[(ve+v)/(ve-v)] = t

nach v aufgelöst ergibt:

v = ve (p-1/p+1) mit der Abkürzung p=exp(2g/ve *t)

und wenn du jetzt noch diese Gleichung integrierst, kommst du auf das Weg-Zeit-Gesetz! Viel Spaß! :wink:

Oliver

#7

v = ve (p-1/p+1) mit der Abkürzung p=exp(2g/ve *t)

Ich erhalte bei der Lösung der speziellen RICCATIschen Differentialgleichung

dv/dt=v∞2-v2   (mit v∞=√(g·m/cw))

die Geschwindigkeit

v(t)=v∞·[(v∞+vo)·exp(2v∞t)-v∞+vo]/[(v∞+vo)·exp(2v∞t)+v∞-vo]

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit vo=0 sieht das Deiner Lösung sehr ähnlich. Die Integration ergibt dann die Höhe

h(t)=ho-v∞·t+ln(|(v∞+vo)·exp(2v∞t)+v∞-vo]|)

#8

v(t)=v∞·[(v∞+vo)·exp(2v∞t)-v∞+vo]/[(v∞+vo)·exp(2v∞t)+v∞-vo]

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit vo=0 sieht das
Deiner Lösung sehr ähnlich.

Ja, das dürfte das selbe sein!!

Die Integration ergibt dann die

Höhe

h(t)=ho-v∞·t+ln(|(v∞+vo)·exp(2v∞t)+v∞-vo]|)

Hast du da nicht was vergessen? In der ln-Funktion darf doch keine Einheit stehen…

#9

Hast du da nicht was vergessen? In der ln-Funktion darf doch
keine Einheit stehen…

Eigentlich nicht, aber ich bekomme die Einheit da nicht raus. Ich habe zwar im ersten Schritt eine Konstante vergessen, aber das war nicht die Ursache des Problems. Für die Geschwindigkeit erhalte ich jetzt

 [√(g·m/c<sub>w</sub>)+v<sub>o</sub>]·exp[2√(g·c<sub>w</sub>/m)·t]-√(g·m/c<sub>w</sub>)+v<sub>o</sub>
v(t)=√(g·m/c<sub>w</sub>)·-----------------------------------------------
 [√(g·m/c<sub>w</sub>)+v<sub>o</sub>]·exp[2√(g·c<sub>w</sub>/m)·t]+√(g·m/c<sub>w</sub>)-v<sub>o</sub>

und für die Höhe

h(t)=h<sub>o</sub>-√(g·m/c<sub>w</sub>)·t+ln{|[√(g·m/c<sub>w</sub>)+v<sub>o</sub>]·exp[2√(g·c<sub>w</sub>/m)·t]+√(g·m/c<sub>w</sub>)-v<sub>o</sub>|}

Damit stimmen jetzt zwar die Einheiten außerhalb des Ln, aber innen sieht es immer noch nicht besser aus. Da die Ableitung von h(t) wieder v(t) ergibt liegt kein Integrationsfehler vor. Möglicherweise muß man den Bruch in v(t) so erweitern, daß die Einheiten bereits vor der Integration wegfallen.

#10

Eigentlich nicht, aber ich bekomme die Einheit da nicht raus.
Ich habe zwar im ersten Schritt eine Konstante vergessen, aber
das war nicht die Ursache des Problems.

Stimmt. Die Ursache des Problems ist, daß Du in „Re^2“ mit

dv/dt = v_infin^2 – v^2

einsteigst. Da steckt schon der Wurm drin, denn links steht 'ne Beschleunigung und rechts ein Geschwindigkeitsquadrat.

Du kannst allerdings auch sagen, daß es sich bei v und t um dimensionslose Variablen handelt, die vorher über die systemcharakteristische Geschwindigkeit v_infin und die System-Zeitkonstante v_infin/(2g) entdimensionalisiert wurden. Bei dieser Betrachtungswese hast Du im Ergebnis dann auch mit „egal was“ als Logarithmusargument kein Dimensionsproblem, weil halt alles dimensionslos ist.

Gruß
Martin

#11

Stimmt. Die Ursache des Problems ist, daß Du in „Re^2“ mit

dv/dt = v_infin^2 – v^2

einsteigst. Da steckt schon der Wurm drin, denn links steht
'ne Beschleunigung und rechts ein Geschwindigkeitsquadrat.

Wie ich bereits in Re^4 schrieb, war das nicht die Ursache, denn dort katte ich den fehlenden Faktor eingesetzt, ohne daß die Einheit verschwand. Tatsächlich hat sich meine Vermutung bestätigt, daß man vor der Integeration der Geschwindigkeit den bruch mit √(g·m/cw) erweitern muß, um Zähler und Nenner dimensionslos zu machen. Dann führt die Integration zu

h(t)=ho-√(g·m/cw)·t+sign(vo)·ln{|½[vo/√(g·m/cw)-1]·exp[2√(g·cw/m)·t]-½[vo/√(g·m/cw)-1]|}·m/cw

und das Dimensionsproblem ist verschwunden.

#12

absolut richtig.

Du verstehst viel.

Die Abtrift würde aber nur Millimeter betragen wenn ein Gegenstand vom Himmel fällt.
Glaubst du die Geschichte von Felix Baumgartner, der vom Weltraum herunter sprang?

Das sah merkwürdig aus.
Zu inszeniert.
Gruss