Hi!
Wie faltet man f1(t) = rect(t/2) mit f2(t) = rect(t/3)?
Kann man allgemein sagen, dass
f(t) = rect(t/T) = { 1 für |t|
Hallo.
Wie faltet man f1(t) = rect(t/2) mit f2(t) = rect(t/3)?
Was ist rect ? „Rectangle“ ? Rechteck ?
Aber unter Beachtung von http://de.wikipedia.org/wiki/Faltungssatz müsste das hier passen:
(f1*f2)(t) = Int f1(Tau)f2(t-Tau)dTau
mfg M.L.
Hi Markus!
Danke für deine Antwort!
rect heißt Rectangle, also Rechteckimpuls.
Mit dem Faltungssatz wie du ihn genannt hast kann man das glaub ich nicht lösen, da bräuchte man folgendes:
F(f1 mit f2 (t))(w) = F(f1(w)) * F(f2(w))
(Faltung mit Fouriertransformation)
Hab aber trotzdem noch keine Ahnung wie man das mit diesem Ansatz lösen könnte. Das Transformieren von f1 und f2 ist kein Problem, aber das rücktransformieren…
Schöne Grüße!
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Hi,
du musst die beiden Funktionen einzeln transformieren, dann miteinander multiplizieren und dann zurücktransformieren. Da hilft auch eine Tabelle, die ich jetzt grad aber nicht hier habe.
Die Höhe eines rect(t/T) (egal was drinsteht) ist immer 1.
Die Höhe von a*rect(t/T) ist dann a usw.
Gruß,
Steffie
Hi,
hab die Tabelle gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuierliche_Fourier…
Hiermit müsste es gehen oder?
rect in den Frequenzbereich transformieren -> ergibt die Si-Funktion.
Danach dann wieder zurück transformieren -> rect
Gruß,
Steffie
Hi Steffie!
Danke für deine Antwort!
Wenn ich f1 und f2 einzeln transformiere und dann multipliziere kommt bei mir folgendes raus: F(f1 mit f2(t))(w) = (4*sin(2w)*sin(3w) / w²)
Wie transformiere ich das am besten zurück?
Schöne Grüße!
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Hi,
Wenn ich f1 und f2 einzeln transformiere und dann
multipliziere kommt bei mir folgendes raus: F(f1 mit f2(t))(w)
= (4*sin(2w)*sin(3w) / w²)
ich hab das raus:
F1(ω) = 2 * si(ω)
F2(ω) = 3 * si(3/2 ω)
=> F1(ω) * F2(ω) = 6 * si(ω) * si(3/2 ω) = 4 * sin(ω) * sin(3/2 ω) / ω²
Wie transformiere ich das am besten zurück?
Mhmm, über die einfachen Zeitfunktionen kannst du jetzt wohl nicht mehr gehen. Ich befürchte, du musst durch das Integral :-/
Sorry, dass ich nicht mehr helfen konnte.
Gruß,
Steffie
Hallo,
Wie faltet man f1(t) = rect(t/2) mit f2(t) = rect(t/3)?
Du greifst auf die Defintion der Faltung zurück, und berechnest die Integrale stückweise.
Bei zwei gleich großen Rechtecken kommt ein Dreieck heraus, bei deinem Beispiel eine linear steigende Flanke, ein Plateau und dann wieder eine lineare fallende Flanke.
Kann man allgemein sagen, dass
f(t) = rect(t/T) = { 1 für |t|
Hallo Andreas,
soweit ich das überblicke sind die Rechtecke unterschiedlich breit, was dazu führt, dass die Faltung kein Dreieck sondern ein Trapez ergibt. Und das Fouriertransformiert wird eher hässlich. Daher bietet sich für diesen Fall eine grafische Lösung an.
Rechteckfunktionen sind symetrisch (f(x)=f(-x)). Ein Rechteck bleibt wie es ist, das andere wird dann über das stehende geschoben und die überlappenden Flächen aufmultipliziert.
Solange sich die Rechtecke nicht überlappen kommt da also 0 Raus. Also erstmal ausrechnen, ab welchen Wert für x (in das zu schiebende Rechteck eingesetzt) sich die Rechtecke überlappen.
Als nächstes gucken wann sich die Rechtecke vollständig überlappen. Einen größeren Wert gibt es bei der gefalteten Funktion nicht. Der Wert an dieser Stelle ist einfach Fläche Rechteck A * Fläche Rechteck B.
Danach läuft das ganze wieder in anderer Reihenfolge ab. Aus diesen Punkten kannst Du dann die gesamt Funktion ableiten, bzw. Zeichnen.
Wenn Du dann unbedingt was analytisch auswertbares brauchst definierst Du die Funktion einfach Stückweise:
f(x)=
0 für x
Hi Steffie!
Wie kommt man von rect(t/2) auf die sinusfunktion? Gibts da ne Formel?
Ich hatte auch ein Integral mit Nenner = ω², das lässt sich schlecht lösen…man könnte es durch die Tabelle in einen Dreiecksimpuls umwandeln, der hätte ω² als Nenner im Spektralbereich…
Schöne Grüße!
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Hi,
Wie kommt man von rect(t/2) auf die sinusfunktion? Gibts da ne
Formel?
du hattest doch auch einen sinus raus…?!
Wenn du den rect(t/2) in den Frequenzbereich transformierst, kommst du erst auf die Si-Funktion. Und Si(x) = sin(x) / x
man könnte es durch die Tabelle in einen
Dreiecksimpuls umwandeln, der hätte ω² als Nenner im
Spektralbereich…
Mhm, mit dem Dreiecksimpuls bin ich mir nicht so sicher. Denn wenn man 2 verschieden große Rechtecke faltet, kommt kein Dreieck raus (nur wenn beide Rechtecksignale gleich groß sind). Das Zurückumwandeln geht auch nur, wenn man sin(ω) und sin(3/2 ω) zusammenfasst, habs über ein mathem. Theorem versucht, aber das wird nur noch hässlicher. Wenn man eine Multiplikation wieder umwandelt, kriegt man ja wieder ne Faltung raus und wir sind wieder am Anfang unserer Aufgabe. (Oder hab ich dich jetzt falsch verstanden?)
Jedenfalls wird die Aufgabe sehr hässlich. Vielleicht solltest du, wie von den anderen vorgeschlagen, es graphisch lösen, das wird viel einfacher 
(oder müsst ihr rechnen?)
Gruß,
Steffie
Hallo,
du musst die beiden Funktionen einzeln transformieren, dann
miteinander multiplizieren und dann zurücktransformieren.
was genau stört Dich denn an der stückweisen Berechnung des Faltungsintegrals? Wie oben auch schon vorgeschlagen?
Man kann es natürlich auch umständlich machen, wenn man will. Nur - wozu, hätte ich gern gewußt.
Gruß
loderunner
Hi,
was genau stört Dich denn an der stückweisen Berechnung des
Faltungsintegrals? Wie oben auch schon vorgeschlagen?
Man kann es natürlich auch umständlich machen, wenn man will.
Nur - wozu, hätte ich gern gewußt.
Auf den ersten Blick sah es halt nach einer einfachen Transformation aus. Dann geht man natürlich über die einfachen Zeitfunktionen.
Gruß,
Steffie
Hi!
die si(x) funktion hab ich noch gar nicht gekannt. bei uns in der transformationstabelle stand: f(t) = rect(t/T) = {1 für |t| F(ω) = (2 * sin(ωT)) / ω
(ich weiss das nur ausm kopf, hab das blatt grad ned da, aber ich denk das stand so drauf)
also es hieß wir müssen es rechnen, aber ich frag mein prof mal am montag. wenn ich dann weiss wies geht schreib ichs ins forum. graphisch werd ichs auch mal ausprobieren.
Schöne Grüße!
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Hallo Andreas,
Wenn ich f1 und f2 einzeln transformiere und dann
multipliziere kommt bei mir folgendes raus: F(f1 mit f2(t))(w)
= (4*sin(2w)*sin(3w) / w²)
ja, genau. Die Fouriertransformierte S(w) von rectg(t/T) ist
S(w) = ∫ –∞…∞ rectg(t/T) e^(–iwt) dt
= ∫ –∞…∞ rectg(t/T) cos(wt) dt
= ∫ –T…T cos(wt) dt
= [sin(wt) / w] –T…T
= sin(wT) / w – sin(w(–T)) / w
= sin(wT) / w + sin(wT) / w
= 2 sin(wT) / w
Damit wissen wir folgendes:
f1(t) = rectg(t/2) ==> S1(w) = 2 sin(2 w) / w
f2(t) = rectg(t/3) ==> S2(w) = 2 sin(3 w) / w
Das Fouriertransformierten-Produkt S1(w) S2(w) resultiert damit zu
S1(w) S2(w) = 4 sin(2w) sin(3w) / w²
Da wir das sin-Produkt darin doof finden, verwandeln wir es flugs in eine Summe via der Identität sin(x) sin(y) = 1/2 (cos(x – y) – cos(x + y)) und erhalten
S1(w) S2(w) = 2 (cos(w) – cos(5w)) / w²
Zur Rücktrafo von S1(w) S2(w) ist das entsprechende Integral auszurechnen (alle Integrationsgrenzen ab hier stets –∞…∞):
1/(2 π) ∫ S1(w) S2(w) e^(iwt) dw
= 1/(2 π) ∫ 2 (cos(w) – cos(5w)) / w² e^(iwt) dw
= 1/π ∫ (cos(w) – cos(5w)) / w² e^(iwt) dw
= 1/π ∫ (cos(w) – cos(5w)) / w² cos(wt) dw
= 1/π ∫ (cos(w) cos(wt) – cos(5w) cos(wt)) / w² dw
Wir verwenden cos(x) cos(y) = 1/2 (cos(x – y) + cos(x + y)) um die cos-Produkte loszuwerden und bekommen
= 1/(2π) ∫ (cos((1–t)w) + cos((1+t)w) – cos((5–t)w) – cos((5+t)w)) / w² dw
Alles was wir noch wissen müssen, ist, wie groß ∫ cos(ax) / x² dx ist. Bronstein sagt dazu:
∫ cos(ax) / x² dx = –[cos(ax) / x] – a ∫ sin(ax) / x dx
Weil cos(ax)/x gerade ist, bleibt nur die zweite Hälfte der rechten Seite übrig:
∫ cos(ax) / x² dx = –a ∫ sin(ax) / x dx
Es gilt (siehe Bronstein):
∫ sin(ax) / x dx = π [–π] für a >[[
t 1-t 1+t 5-t 5+t ± (1-t) ± (1+t) ± (5-t) ± (5+t)
-∞ … –5 >0 0 0 0 >0 - (1-t) + (1+t) + (5-t) + (5+t)
-1 … +1
+1 … +5 [fehlende Zeilen selbst überlegen]
+5 … +∞
t Zusammengefasst
-∞ … –5 0
-5 … –1 10 + 2 t
-1 … +1 8
+1 … +5 10 - 2 t
+5 … +∞ 0
Das π aus „1/(2π)“ vor dem Integral kürzt sich gegen das von der Stelle [
] weg. Das bedeutet, dass wir nur noch die „Zusammengefasst“-Spalte durch die 2 aus „1/(2π)“ dividieren müssen, um es geschafft zu haben.
Ergebnis: Die gesuchte Faltungsfunktion Φ(t) ist stückweise linear und lautet
Φ(t) = 0 für t = +5
Uff.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hi!
So, ich weiss jetzt wie’s geht:
f1(t) = rect(t/2); f2(t) = rect(t/3)
F(f1 mit f2(t))(ω) = F(f1(t))(ω) * F(f2(t))(ω)
=F(rect(t/2))(ω) * F(rect(t/3))(ω)
=((2 * sin(2ω)) / ω) * ((2 * sin(3ω)) / ω)
=(4 * sin(2ω) * sin(3ω)) / ω²
=(4 * (0.5 * (cos(-ω) - cos(5ω)))) / ω²
=(2/ω²) * [(1 - 2 * sin²(-0.5ω) - (1 - 2 * sin²(2.5ω))]
=-((4 * sin²(-0.5)) / ω²) + 5 * ((4 * sin²(2.5ω)) / 5ω²)
= ∆(t/T) {1 - |t| für |t| 5 }
Es ergibt also wenn mans zeichnen würde ein Trapez.
Schöne Grüße!