Hallo,
ja, man kann hinter einem vorhandenem Router, dessen Internet man nutzt, einen eigenen Router anmelden - und man kann dann auch am eigene Router Telefoniegeräte einrichten.
Dazu beachtet man zuerst die ANleitung https://avm.de/service/fritzbox/fritzbox-7490/wissensdatenbank/publication/show/1040_Vorhandener-Zugang-ueber-WLAN-in-FRITZ-Box-einrichten/
(Wenn es eine 7490 ist - die ich übrigens auch empfehlen würde)
Dann besorgt man sich einen Telefon"anschluss", genauer: Einen Vertrag mit einem Internet-Telefonieanbieter, etwa Sipgate. Bitte ZWEI Nummern beantragen, sonst ist das Mist mit dem Fax!
Weiter geht es hiermit:
https://avm.de/service/fritzbox/fritzbox-7490/wissensdatenbank/publication/show/177_Mit-FRITZ-Box-ueber-anderen-Router-telefonieren/
Die notwendigen Daten dafür bekommst du von deinem Anbieter.
Dazu müssen aber auch Einstellungen am Router des Anschlussinhabers, also des Nachbarn, vorgenommen werden.
Ich empfehle, das nicht ohne hinreichende IT-Kenntnisse zu machen.
Einen Repeater benötigst du nicht, da dein Router sich direkt mit dem WLAN des Internetzugangs verbindet.