Finanzmathematik: Grundlegende Frage zur Abzinsung mit Berücksichtigung der Zinsstrukturkurven

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ihr Lieben,

also zur Zinsstrukturkurve:
1 Jahr: 5%
2 Jahre: 6%
3 Jahre: 7%

Cash Flow:
Jahr 1: 50’
Jahr 2: 50’
Jahr 3: 1050’

Wie würdet ihr den Barwert berechnen?
Hierzu wurde uns die Duplizierungsmethode vorgestellt.

Ich frage mich jedoch folgendes:
Wenn ich jeden Cash Flow mit den korrespondierenden Zinssätzen aus der Zinsstrukturkurve diskontiere, wäre es entgegen der Praktik in der Finanzmathematik. Warum? Was ist die logische Erklärung?

Damit ihr genau versteht, was ich meine:
Barwert=50/1,05 + 50/1,06² + 1050/1,07³

Warum kann man den Barwert nicht so berechnen?

Anmerkung zur Zinsstrukturkurve.
In meinem Beispiel bekommt man 7% pro Jahr, wenn man das Geld in Jahr 0 für drei Jahre anlegt;
6% wenn man es für zwei Jahre anlegt und 5% wenn man es für ein Jahr anlegt.
Die Zinsstrukturkurve repräsentiert keine variable Zinssätze, also sprich in Jahr 1 bekommt man 5% Zinsen, in Jahr 2 bekommt man 6% und in Jahr 3 bekommt man 7% Zinsen für einmalig angelegtes Kapital. Ist ein häufiger Irrtum bei Anfängern wie mir.

#2

Wieso gegen die Praktik der Finanzmathematik? Die Mathematik lässt sowohl einen konstant gleichen Zinssatz I für alle Perioden t1… tn zu, als auch schwankende, fallende oder steigende Zinssätze. Üblicherweise hat man zur Formelvereinfachung aber einen Zinssatz, der über alle Perioden gleich ist.

Die Zinsstrukturkurve repräsentiert für die Kapitalanlage mit der Dauer n einen Zinssatz i(n), der jährlich nachschüssig zu allen Periodenenden von t1 bis tn gezahlt wird. Bei einer dreijährigen Anlage würde in Deinem Fall der Zinssatz von 7 % p.a. am Ende der ersten, zweiten und dritten Periode fällig. Also wird die letzte Zahlung von 1050 mit dem Diskontierungsfaktor 1/(1+0,7)³ multipliziert.

Es ist also nicht so, dass bei der dritten Zahlung das 1. Jahr mit 5 %, das 2. Jahr mit 6 % und das 3. Jahr mit 7 % abgezinst wird, also insgesamt mit 1/(1+0,05)x(1+0,06)x(1+0.07). Für alle drei Jahre gilt der Zinssatz 7 % p.a.

#3

Genau wie angegeben, das ist der Barwert gemäß der üblichen Definition (die Summe der erwarteten zukünftigen Cash-Flows diskontiert über die Zeit).

Die Duplizierungsmethode ist doch nur eine Hilfe, um ein beliebiges Projekt mit allgemeinen Auszahlungsprofil in die Form von Menge-von-Cash-Flows-nach-Zeit-X zu zwängen. An welcher Stelle sollte sich durch Anwenden der Methode denn der Barwert ändern?

#4

@LittleArrow
Genau so habe ich die Zinsstrukturkurve beschrieben, kam wohl nicht ganz richtig verstanden an, mein Fehler.

Also die Antworten helfen leider nicht weiter, denn man kann nun mal nicht auf folgende (bereits genannte Weise) den Barwert berechnen:
Barwert=50/1,05 + 50/1,06² + 1050/1,07³

Könnte man mit der obigen Milchmädchenrechnung alle Cashflows eines Projektes zu allen Zeitpunkten für alle nicht-flachen Zinsstrukturkurven berechnen, bräuchte man z.B. die Effektivverzinsung nicht mehr.

Wenn man die Duplizierung zum Beispiel nimmt (was eine richtige, aber nicht die einzige Methode ist), dann kommt man auf einen völlig anderen Barwert als beim obigen Beispiel (Barwert=50/1,05 + 50/1,06² + 1050/1,07³).

Es gibt eine logische Erklärung, warum man den Barwert nicht auf die obige Weise berechnen darf, nur ich komme nicht drauf. Vielleicht gibt es noch weitere Erklärungsversuche von weiteren oder den selben Usern?

#5

Danke für Deine Rückmeldung, aber leider verstehe ich Deinen Kommentar zur Ablehnung von Barwert=50/1,05 + 50/1,06² + 1050/1,07³ nicht.

Was soll an dieser vorgeschlagenen Rechnung die Milchmädchenrechnung sein?

Was ist die Duplizierungsmethode? Welche Annahmen liegen dabei zugrunde?

Der Begriff Effektivverzinsung ist möglicherweise auch schon irreführend, wenn man plötzlich die PAngV in die Diskussion einbringen will.

#6

Entschuldige bitte, aber da fehlt noch Kontext. Der Barwert (engl. present value) ist in der Finanzmathematik eindeutig definiert, im diskreten Fall wie angegeben (Summe abdiskontierter erwarteter Cash-Flows). Wenn Du den ausrechnen willst, dann kann man nur diese Definition anwenden. Wenn man etwas anderes macht, rechnet man auch etwas anderes als den Barwert aus.

Andersherum: In einem Markt ohne Kosten, in dem DIr eine Bank die Termingeld zu o.g. Zinsen anbietet, die Bank kein Ausfallrisiko hat, das Termingeld nicht putable und nicht callable ist, kannst Du heute 50/1.05 einzahlen, um in einem Jahr 50 zu erhalten, dann noch 50/1.06^2, um in zwei Jahren 50 zu erhalten, dann noch 1050/1.07^3, um in 3 Jahren 1050 zu erhalten, macht also einen Barwert in Höhe der Summe dieser Summanden, oder nicht?

Wenn Du Ausfallrisiko mitmodelieren willst (was man tatsächlich in der Praxis macht), oder Inflation oder Transaktionskosten, oder sonstiges, dann kann man nicht mehr so naiv rechnen, das stimmt. Aber all diese Sachen sind ja in der Voraussetzung für den Barwert aufgeführt.

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#7

Wir bewegen uns im Rahmen der Finanzmathematik, daher meine ich nicht die PAngV explizit, wenn ich von der Effektivverzinsung schreibe, obwohl natürlich eine Verbindung dazu existiert.
Unter Effektivverzinsung verstehe ich einen internen Zinssatz; bei diesem internen Zinssatz handelt es sich um einen konstanten Diskontierungszins, der für alle Perioden gilt.
Warum ist das relevant?
Wenn wir steigende oder fallende Zinsstrukturkurven vorliegen haben, haben wir unterschiedliche Zinssätze für unterschiedliche Laufzeiten. Nun kann eine Anlage oder Investition mehrere Cash Flows in verschiedenen Perioden haben. Hier liegt ein Barwert-Berechnungsproblem vor, das man mit der einfachen Abzinsung nicht lösen kann. Aber mit der Methode der Duplizierung könnte man es lösen. Hat man nun den Barwert durch die Duplizierung ermittelt, kann man hiervon ausgehend einen internen Zinssatz (Effektivverzinsung) berechen, der für alle Cash Flows in den verschiedenen Perioden im Zuge der einfachen Diskontierung genutzt werden kann.
Man stellt dadurch also quasi künstlich eine flache Zinsstrukturkurve her, womit eine einfache Diskontierung wie gesagt möglich ist, die nebenbei geagt zum selben Barwert führen wird, wie bei der Methode der Duplizierung.

Ich zitiere mal aus einem Skript:
„Einfaches Abzinsen eines Zahlungsstromes ist bei nicht-flascher Zinsstrukturkurve finanzmathematisch nicht korrekt.“

Duplizierungsmethode:
Der Zahlungsstrom wird durch den Abschluss von Gegengeschäften dupliziert.
Die Duplizierungsmethode zu erklären ist face-to-face sehr simpel, aber schriftlich dauert es einfach zu lange. Da müsstest du mal kurz googeln.

#8

Ich denke wir kommen alle drei nicht drauf.
Ich werde bei Gelegenheit nochmal den Professor fragen und seine Antwort hier ins Forum stellen, damit sich die Verwirrung bei uns löst. :smile:

#9

Duplizieren bedeutet Verdoppeln, was aber finanzmathematisch wenig Sinn macht. Also muss dahinter was anderes stecken.

Und was ist „einfaches Abzinsen“? Mit oder ohne Zinseszins? Finanzmathematisch geht das nur mit Zinseszins.

Der interne Zinssatz ist dadurch definiert, dass bei diesem Zinssatz der Kapitalwert der zu dieser Investion gehörigen Zahlungen gleich Null ist.

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#10

Was hat Dir der Professor erzählt?

#11

Würde mich jetzt auch interessieren. Aber vermutlich war der Kontext ganz anders und wir haben alle recht, inklusive Professor.

#12

Was hat der Professer gesagt?