Ich möchte die Fläche eines von kubischen Bézierkurven in der zweidimensionalen Ebene (im Folgenden nur „Kurven“ genannt) begrenzten Bereichs berechnen. Die Kurven bilden zusammen einen geschlossenen Pfad. Es darf vorausgesetzt werden, dass der Pfad keine Schlaufen oder sonstige Selbstschnitte besitzt. (Allgemeiner Fall)
Möglicherweise ist es einfacher, wenn der Pfad konvex ist, also das Polygon der Anfangs- bzw. Endpunkte der Kurven vollständig innerhalb des Pfades liegt, oder, mit anderen Worten, die Kurven nur nach „außen“ gewölbt sind. Die Kurven können dann (weil sie kubische sind) insbesondere nicht S-förmig sein.
Die Länge einer Kurve (und damit auch die des Pfades) lässt sich mit einem elliptischen Integral berechnen, wozu ich bereits in der Lage bin. Aber wie sieht es mit dem Flächeninhalt aus?
Meine bisherigen Ansätze:
Spezialfall konvex: Finde eine Formel, die den Inhalt der Fläche berechnet, die von einer Kurve und der Strecke vom Anfangs- zum Endpunkt eingeschlossen wird. Der gesuchte Flächeninhalt des Pfades ist nun die Fläche des o.g. Polygons plus die einzelnen Kurvenflächen.
Allgemeiner Fall: Geht man von o.g. Polygon aus, dann geben die einzelnen Kurven Flächeninhalt hinzu und/oder nehmen welchen weg. Dazu benötigt man eine Möglichkeit, die die Flächenbilanz einer Kurve zu ermitteln.
Eine mögliche Approximation des gesuchten (Gesamt-)Flächeninhalts kann durch Approximation des Pfades durch ein genügend ähnliches Polygon erreicht werden.
Eine Polygonfläche ist mittels Gaußscher Trapezformel schnell berechnet.
Die eigentlichen Fragen dabei sind: Gibt es (statt Approximation) überhaupt eine Formel? Wenn ja: ist die Approximation durch ein Polygon effektiver? Wenn nein: Wie lässt sich die Approximation effektiv gestalten? (Effektiv mit Computer)
Zu dem Problem habe ich bis jetzt nichts gefunden, jedoch auch nicht intensiv befasst.
ICH WEIß, DASS DIESES THEMA SEHR SPEZIELL IST, DAHER BITTE ICH NICHT-KONSTRUKTIVE ANTWORTEN (wie: „dazu kann ich nichts sagen“) ZU UNTERLASSEN. ABER JEDER DENKANSTOß IST WILLKOMMEN.