Flächeninhalt

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Ich hab ein Rätsel, aber ich steig irgendwie nicht so ganz dahinter wie ich an die Lösung kommen soll:

In einem Rechteck ABCD wir ein Punkt P markiert. Dieser wird mit den Rechteckeckpunkten verbunden, sodass vier Dreiecke entstehen.
Wie kann man den Flächeninhalt des Dreiecks ABP berechnen, wenn für die Flächeninhalte der anderen Dreiecke gilt:

A<sub>BCP</sub>=19cm²
A<sub>CDP</sub>=25cm²
A<sub>DAP</sub>=38cm²

Bisher bin ich schon darauf gekommen, dass die Höhe des Dreiecks DAP doppelt so groß sein muss wie die Höhe des Dreiecks BCP, aber i-wie komm ich nich weiter…

Naja viel Spass beim Denken.

MfG Sven

#2

Hausaufgabenhilfe?
Hallo Sven,

beim Knobeln habe ich herausbekommen, dass die Summe des Flächeninhalts zweier diagonal gegenüberliegender Dreiecke immer gleich der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks ist.

Den Rest kriegst Du dann wohl selber raus, viel Spass :o).

#3

Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Nach deiner Hilfe müsste dann eig. der gesuchte Flächeninhalt 32cm² betragen.
Kann das sein oder bin ich ganz falsch?Wie bist du denn darauf gekommen,

dass die Summe des
Flächeninhalts zweier diagonal gegenüberliegender Dreiecke
immer gleich der Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks ist.

?
Man kennt doch den Gesamtflächeninhalt nich…
Bitte um Erklärung^^

#4 
 x
A ------------------------ D ------
 | | |
 | | m
 | | | 
 | .P --------------|----------
x | | |
 | | |
 | | n
 | | |
 | | |
 | | |
B ------------------------ C -------

Flächeninhalt Dreieck = Seitenlänge * Höhe / 2
Das Dreieck ADP hat den Flächeninhalt x * m / 2
Das gegenüberliegende Dreieck ADP hat den Flächeninhalt x * n / 2
Die Summe dieser beiden Dreiecke ist x*(m+n)/2
(m+n) ist aber die Summe der Teilstrecken, also gleich x.
Die Summe ist also x*x/2, d.h. die Hälfte des Flächeninhalts des Quadrats.

BCP=19cm²CDP=25cm²DAP=38cm²
BCP und DAP sind gegenüberliegend. Die Summe ihrer Flächen ist 57cm^2.
Also muss ABP=57-25=32cm^2 groß sein.

Gruß.Timo

[MOD]

-Tag eingefügt für bessere Darstellung der Graphik
#5

Huhu,
jup meine Vorgänger haben eine schnelle Lösung gefunden. Falls man das aber nicht schnell erkennt, stell doch einfach alle Gleichungen auf und schau welche du benötigst, um die Aufgabe zu lösen.
x = AB = DC
y = AD = BC

A<sub>ABP</sub> = x \* y - 82cm²
A<sub>ABP</sub> = 1/2 h<sub>ABP</sub> \* x
h<sub>ABP</sub> = y - h<sub>DCP</sub>
A<sub>DCP</sub> = 1/2 h<sub>DCP</sub> \* x = 25

Das reicht schon aus. Wenn du die Gleichungen miteinander verbindet, bekommst du den Flächinhalt des Rechtecks (x * y) raus und damit auch das des Dreieckes ( x * y - 82).

#6

Aaaaaaaaah,… ich habs verstanden.
Man kommt auf die einfachsten Dinge nich, tztztz.*mitderflachenhandgegendiestirnhau*
Vielen Dank für eure Antworten!!
MfG Sven

PS:War übrigens keine Hausaufgabe, habs einfach aus Interesse gemacht :wink: Meine Hausis schaff ich schon noch alleine (man mags kaum glauben^^)