Hallo,
…Grundstück mit 4 Unterschiedlichen Seiten und möchte die Fläche berechnen.
http://www.fotos-hochladen.net/cimg053380uadyqt.jpg
Seite 1: 28,6 m
Seite 2: 29,20 m
Seite 3: 13,53 m
Seite 4: 12,48 m
es ist richtig, dass die Angabe der vier Seitenlängen ein Viereck nicht eindeutig festlegt. Wie der Plan zeigt hat Dein Grundstück aber eine ziemlich rechteck-ähnliche Form, und das erlaubt Dir eine einfache näherungsweise Berechnung der Fläche, nämlich indem Du die beiden Mittelwerte der gegenüberliegenden Seiten miteinander multiplizierst:
F’ = 28.90 m · 13.00 m = 375.70 m²
Sicher ist, dass dieser Wert nicht allzu stark vom wahren abweicht (was mehr zählt als der Umstand, dass es nur ein Ungefährwert ist).
Interessant wäre natürlich zu wissen, wie groß der Fehler tatsächlich ist. Dazu muss man die Fläche genau berechnen. Ich habe das unter der Annahme getan, dass die Winkel der beiden straßenseitigen Ecken gleich groß sind; durch diese Zusatzbedingung ist die Form eindeutig festgelegt. Mit einem geeigneten Ansatz bekommt man den Wert für diese beiden Winkel heraus, bei dem die hintere Grundstücksseite 13.53 m lang ist (es sind 91.03°). Über die Gaußsche Trapezformel kann man dann die Fläche des Grundstücks exakt berechnen. Ergebnis:
F = 375.59 m²
Das bedeutet gegenüber F’ einen relativen Fehler von weniger als 0.03%. Der absolute Fehler beträgt 0.11 m². Bei einem Quadratmeterpreis von 150 €/m² wird dieses Grundstück mehr als 56000 € kosten, und der durch die erste Näherungsrechnung bedingte Fehler macht dabei 16.50 € aus.
Gruß
Martin
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Input und Output der Maxima-Session:
numer: true$
phi: 0.017937$
A: [0, 0];
B: [0, 12.48];
C: [-28.60\*cos(phi), 12.48 + 28.60\*sin(phi)];
D: [-29.20\*cos(phi), -29.20\*sin(phi)];
e(P, Q) := sqrt((P[1]-Q[1])^2 + (P[2]-Q[2])^2)$
e(A, B); e(B, C); e(C, D); e(D, A);
/\* Exakte Fläche mit gaußscher Trapezformel \*/
F: 1/2\*abs((A[2]-C[2])\*(D[1]-B[1]) + (B[2]-D[2])\*(A[1]-C[1]));
/\* Fläche des Mittelwertsrechtecks \*/
F0: 28.90\*13.00;
/\* absoluter und relativer Fehler der Fläche \*/
F0-F;
F0/F-1;
(%o3) [0,0]
(%o4) [0,12.48]
(%o5) [-28.5953992989962,12.99297069211369]
(%o6) [-29.19530278079332,-0.52373231502516]
(%o8) 12.48
(%o9) 28.6
(%o10) 13.53000903069428
(%o11) 29.2
(%o12) 375.5903156518189
(%o13) 375.7
(%o14) 0.10968434818113
(%o15) 2.9203188583482032\*10^-4