Ich suche eine Formel für die Massenträgheit eines hohlen Kegelstumpfes. Dieser ist oben und unten offen.
Beispiel: D=65mm; d=25mm; Wandstärke 3mm
Drehung ist um die Hauptachse.
Hallo,
Du meinst wahrscheinlich das MassenTrägheitsMoment.
Wenn Du die MTM-Formel für einen Vollkegel hast, kannst Du den hohlen KegelStumpf durch Subtraktion der beiden unerwünschten Teile ermitteln.
Freundliche Grüße
Thomas
Ich suche eine Formel für die Massenträgheit eines hohlen
Kegelstumpfes. Dieser ist oben und unten offen.
Beispiel: D=65mm; d=25mm; Wandstärke 3mm
Drehung ist um die Hauptachse.
Wie wäre es mit einer Begrüßung, Du Stoffel?
Hallo!
Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders ist
J = m \frac{{r_1}^2 + {r_2}^2}{2}
Man kann das jetzt exakt ausrechnen oder die Näherung machen, dass die Wandstärke klein gegenüber dem Radius ist. Dann sind Innenradius und Außenradius glich:
J = m r^2
Nun ist r bei Dir nicht konstant, sondern der Kegel verjüngt oder erweitert sich, und zwar:
r(z) = r(0) + a \cdot{} z
a ist sozusagen die Steigung mit
a = \frac{\Delta r}{\Delta z}
Dann erhalten wir
J = m \int_0^h {r(z)}^2 \mbox{d}z
Das kriegst Du hin, oder?
Michael
… glaub’ ich nicht !
Hallo Michael!
Wie wäre es mit einer Begrüßung, Du Stoffel?
Hallo!
Das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders ist
J = m \frac{{r_1}^2 + {r_2}^2}{2}
…
a ist sozusagen die Steigung mit
a = \frac{\Delta r}{\Delta z}
Dann erhalten wir
J = m \int_0^h {r(z)}^2 \mbox{d}z
Das kriegst Du hin, oder?
Ganz so einfach ist’s auch wieder nicht. Nach deiner Formel kämen die Einheiten kg*m³ (statt kg*m² !) raus.
Thomas Vorschlag, zwei Kegelstümpfe voneinander abzuziehen (deren unterschiedliche Masse beachten!) scheint mir ein einfacher Weg zu sein. Wenn man die Wandstärke (3 mm) als dünn betrachtet, dann gibts auch eine schnelle aber brauchbare Näherung: Wo die Masse entlang der Achse liegt, ist egal. Also kann man einen dünnwandigen Kegelstumpf (ohne Boden und Deckel) für J so betrachten wie einen dünnen Kreisring mit Innen- und Außenradius (und der gleichen Gesamtmasse !), für den wiederum gilt die Formel für den Hohlzylinder, die du oben schon genannt hast: J = m \frac{{r_1}^2 + {r_2}^2}{2}
Gruß Kurt
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Hallo!
J = m \int_0^h {r(z)}^2 \mbox{d}z
Das kriegst Du hin, oder?
Ganz so einfach ist’s auch wieder nicht. Nach deiner Formel
kämen die Einheiten kg*m³ (statt kg*m² !) raus.
Danke für den Hinweis. Die Formel war natürlich falsch. Richtig müsste sie lauten:
J = \frac {m}{h} \int_0^h {r(z)}^2 \mbox{d}z
Warum? Die Massenbelegung ist
\frac{\mbox{d}m}{\mbox{d}z} = \frac{m}{h}
Bei der Definition des Trägheitsmoment wird ja (aus gutem Grund) nicht über dz integriert, sondern über dm. Wenn man die Koordinatentrafo sauber macht, kommt man auf das obige (korrigierte) Integral, dessen Lösung Du ja schon angegeben hast.
Michael
Hallo Michael!
Glaub’ ich immer noch nicht.
…
Warum? Die Massenbelegung ist
\frac{\mbox{d}m}{\mbox{d}z} = \frac{m}{h}
Nein, die Massenbelegung ist nicht konstant, dort wo der Radius kleiner ist, ist (bei gleicher Wandstärke) auch weniger Masse (pro „dz“). Den Faktor kann man also nicht einfach aus dem Integral rausziehen.
Gruß Kurt
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Nachtrag:
Habe ´mal in mein TabellenBuch geschaut:
J = 3 / 10 * m * r ^ 3 für das MassenTrägheitsMoment eines Kegel.
Davon den HohlRaum ( wieder ein Kegel ) abziehen ( --> HohlKegel ) und auch die Spitze abziehen ( wieder ein HohlKegel ).
Viel Erfolg
Thomas
Nein, die Massenbelegung ist nicht konstant, dort wo der
Radius kleiner ist, ist (bei gleicher Wandstärke) auch weniger
Masse (pro „dz“). Den Faktor kann man also nicht einfach aus
dem Integral rausziehen.
Und Du hast schon wieder recht.
Ich bin zu faul, einen dritten Lösungsversuch zu machen (der vermutlich nicht ohne vernünftige Zylinderkoordinaten auskommen würde) und sehe ein, dass die von Thomas vorgeschlagene Baukastenmethode definitv die einfachere ist.
Michael
PS: Natürlich Sternchen.
Hallo Thomas,
Nachtrag zu deinem Nachtrag: Du kannst auch gleich die Formel für den massiven Kegelstumpf nehmen (http://de.wikipedia.org/wiki/Massentr%C3%A4gheitsmom…) - aber aufpassen:
Die Massen von „Außen-“ und „Innen“-Körper sind verschieden, die Masse m des Teils ist die Differenz davon. Also am besten mit Volumen und Dichte rechnen!
Gruß Kurt