Fourier für Dumme

Wissenschaft Physik
#1

Hallo, ich  versuche gerade Fourier-Analysen zu verstehen.
Konkret geht es darum: Wenn ich ein physikalisches Signal habe, wie komme ich zu dem Frequenzanteil, also wie viel eine Frequenz zum Signal beiträgt?

Wenn ich das richtig verstanden habe, ist es so: möchte ich wissen, ob die Frequent F1 im Signal enthalten ist, multipliziere ich eine Sinusfunktion mit der Frequenz F1 mit dem Signal. Wenn es genau die gleiche Frequenz hat, ist das Ergebnis besonders hoch, plus * plus ergibt plus und für den negativen Bereich: minus * minus ergibt ebenfalls plus (dieses Beispiel habe ich mit Excel erstellt: http://www.directupload.net/file/d/3902/4nk8depc_png…)

Wenn ich hingegen eine Sinusfunktion mit anderer Frequenz mit dem Signal multipliziere, löschen sich relativ viele Bereich gegenseitig aus, das heißt das Integral der Kurve ist nahe 0. (Beispiel: http://www.directupload.net/file/d/3902/qsm6he6f_png…)

Soweit so richtig?

Meine Frage ist nun: Für die größe des Integrals kommt es, das wird in den Beispielen ja deutlich, sehr auf die Phase an. Wenn ich das Signal (oder die Testfrequenz) um 90° verschieben würde, wäre das Integral 0, richtig?

Wie komme ich also im Frequenzraum zum Anteil einer Frequenz? Addiere ich einfach den Sinus- und den Cosinus-Teil?

Schon mal danke und besten Gruß,
Tobias

#2

Hallo,

Wenn ich ein physikalisches Signal habe, wie komme ich zu dem Frequenzanteil, also wie
viel eine Frequenz zum Signal beiträgt?

ich gehe mal davon aus, dass Du ein 2π-periodisches Signal meinst. Dann berechnest Du für Deine interessierende Frequenz „k“ die beiden Fourierkoeffizienten ak und bk gemäß

a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(kt) :dt

b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(kt) :dt

Die Frequenz k ist dann mit der Amplitude \sqrt{a_k^2 + b_k^2} im Signal enthalten. ak und bk addieren sich also nicht arithmetisch, sondern geometrisch (oder „pythagoreisch“) zur Amplitude.

Die Kenntnis aller (unendlich vielen) cos-Koeffizienten a0, a1, a2,… und aller (unendlich vielen) sin-Koeffizienten b1, b2,…, reicht aus, um damit das Signal vollständig (re-)konstruieren zu können:

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt))

(Die Summe aller cos-Koffizienten ergibt den symmetrischen Anteil des Signals; die Summe aller sin-Koeffizienten dessen unsymmetrischen Anteil. In a0 steckt die Information über den Gleichanteil des Signals.)

Meine Frage ist nun: Für die größe des Integrals kommt es, das
wird in den Beispielen ja deutlich, sehr auf die Phase an.
Wenn ich das Signal (oder die Testfrequenz) um 90° verschieben
würde, wäre das Integral 0, richtig?

Ja. Stell Dir vor, Du hast ein periodisches Signal und drehst jetzt an der Phase der neunten Harmonischen darin herum. Damit bewirkst Du eine gleichzeitige Änderung von a9 und b9, und zwar derart, dass a9 maximal wird wo b9 minimal wird, und umgekehrt. Bei einer zeitlich konstanten Änderung der Phase ändern sich die Koeffizienten sogar selbst periodisch.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe

Konnte ich Deine Frage beantworten?

Gruß
Martin