Fourier-Sachen(FT,DFT, Reihe)

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

Ich versuche gerade die allgemeine Fourier-Transformation(also kontinuierliche FT), DFT und die Fourier-Reihe zu verstehen.

Dazu wird folgendes Bild benötigt: www.bilder-upload.eu/show.php?file=b7ef12-1393750735…

Fourier-Reihe: Man kann ein periodisches Signal als unendliche Summe von sinusförmigen Schwingungen darstellen. Es gibt da mehrere Darstellungsmöglichkeiten, entweder sin,cos-Variante oder die komplexe-Darstellung. Also am Ende kann man in einem Linienspektrum sehen, was für Frequenzen hier vorkommen(Grundfrequenz + ganzzahligen Vielfache davon)

(Kontinuierliche)Fourier-Transformation: Man kann hier nicht nur periodische Signale, sondern auch unperiodische Signale im Frequenzbereich darstellen. Man hat einfach ein unperiodisches Signal mit der Periodendauer unendlich und setzt in die Formel in Bild C ein.

Soweit richtig?

Ich verstehe, jedoch den Unterschied zwischen Reihe und Transformation nicht ganz. Bei der Fourier-Reihe bekommt man ja ein Linienspektrum und bei der Fourier-Transformation ein sog. „kontinuierliches Spektrum“.

Beim Linienspektrum(also bei der fourier-reihe) ist einfach im Abstand von der Grundfrequenz immer eine Linie(oder auch keine, da ja z.b. bei einem rechteck nur 3*f, 5*f etc. vorkommt. Gerade zahlen fallen weg). Gut naja und man sieht halt hier die einzelnen Frequenzen die vorkommen.

Aber was sagt das kontinuierliche Spektrum aus, dass bei der Fourier-Transformation rauskommt?

Bei Bild C die S(w)-Formel: Ist nun s(t) ein bestimmter Zeitabschnitt, was genau ist da s(t). Ja schon klar, dass unperiodische Signal, aber wie lange ist das nun? Wie bekomme ich s(t) heraus? Es gibt ja lange unperiodsche signale und auch ganz kurze. Wie bekomme ich s(t)?

Ich hoffe du kannst mir das grundlegene Erklären! Danke!

mfg

MrAnonym

#2

Bei Bild C die S(w)-Formel: Ist nun s(t) ein bestimmter
Zeitabschnitt, was genau ist da s(t). Ja schon klar, dass
unperiodische Signal, aber wie lange ist das nun? Wie bekomme
ich s(t) heraus? Es gibt ja lange unperiodsche signale und
auch ganz kurze. Wie bekomme ich s(t)?

Ich hoffe du kannst mir das grundlegene Erklären! Danke!

Weitere Informationen bekommst du u.a. [hier](http://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/physikalische_chemie/praktikum/fourier transformation kr_mer elisabeth schmitz__rene_.pdf).

s(t) ist die sog. Rücktransformierte.

Gruß

#3

‚s‘ ist das Zeitsignal, welches du analysieren möchtest, und s(t) ist die Auslenkung zum Zeitpunkt t. Ist ‚s‘ periodisch, dann nimmst du die Fourieranalyse und ermittelst Fourierkoeffizienten C_n für die Fourierreihe. Ist ‚s‘ nicht periodisch, dann nimmst du die Fouriertransformation, nämlich die Rücktransformation, und erhältst das kontinuierliche Spektrum S. Wo in der Fourierreihe C_n für die Amplitude der n. Oberwelle steht, so steht S(omega) für die Amplitude einer Schwingung der Frequenz omega im Zeitsignal s. Das Problem ist, dass ein einzelner Wert im Spektrum zu wenig auf die Waage bringt. Wenn du ein Spektrum hast, das überall null ist und nur an der Stelle omega 1, dann ist das zugehörige Zeitsignal konstant 0. Wenn man also im Zeitsignal etwas sehen will, dann müssen um die Stelle omega herum auch in einem Intervall die Werte verschieden von Null sein. Das dürfte im Wesentlichen mit der Bemerkung im Bild gemeint sein, dass nur ein Flächenstück unter der S-Kurve zählt.
Man kann von periodischen Funktionen keine Fouriertransformierte berechnen, denn die zu berechnenden Integrale würden „unendlich groß“ werden. Die im Bild angegebene Bedingung, dass die Fläche unter den Absolutbeträgen von ‚s‘ endlich sein muss, wäre verletzt. Die Behauptung, dass sin, cos und die konstante Funktion ein kontinuierliches Fourierspektrum besäßen, ist falsch. Alle drei Funktionen sind ja periodisch. Deren Spektrum bestünde aus Impulsen, die unendlich dünn und unendlich hoch sind, gerade so bemessen, dass sie eine bestimmte endliche Fläche größer als Null überdecken. Stichwort: Dirac-Impuls. Reguläre Funktionen können diese Eigenschaften nicht haben, man muss dafür auf Verallgemeinerungen wie Schwarz-Distributionen zurückgreifen.
Dennoch gibt es folgenden Zusammenhang: Wenn man eine periodische Funktion endlich macht, indem man zum Beispiel außerhalb eines bestimmten Intervalles die periodische Funktion auf null setzt, dann ähnelt das Fourierspektrum dieser beschnittenen Funktion dem Linienspektrum der periodischen Funktion, und das umso mehr, je größer man das beibehaltene Intervall wählt.

#4

Danke, aber was soll mir so ein kontinuierliches Spektrum nun sagen?

Hier eine Tabelle: http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=cbb9ae-139…

Schauen wir uns doch mal Zeile 1 an hier wird ein unperiodisches Signal(Rechteckimpuls) im Frequenzbereich dargestellt, d.h. in dem Frequenzspektrum sind ja ALLE Frequenzen enthalten, richtig?

Aber was soll das mit darstellen? Einmal ist die Amplitude im Spektrum und einmal nicht. Was sagt das ganze aus?

#5

Ja, im Frequenzspektrum des Rechteckimpulses sind nahezu alle Frequenzen enthalten, allerdings mit verschiedenen Amplituden. Das sagt das Spektrum „S“ aus.

Was meinst du mit „Einmal ist die Amplitude im Spektrum und einmal nicht.“ ?

#6

Ich denke, hat sich erledigt, ich hab es grob erstmal verstanden! Danke dir.

Ich fasse es nochmal kurz zusammen:
Die Fourier-Reihe kann man nur bei unendlich langen periodischen Signalen anwenden.
Die Fourier-Transformation funktioniert nur bei nichtperiodisch Signalen. Ein Signal ist auch dann nichtperiodisch, wenn ein endlich periodisches Signal vorliegt(vor und hinter dem Signal --> s(t)=0). Ein nichtperiodisches Signal hat die Periodendauer = unendlich!

Folgendes gilt für Fourier-Reihe und -Transformation: Jedes Signal kann als unendliche Summe von sinusförmigen Schwingungen dargestellt werden.
Fourier-Reihe --> ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
Fourier-Transformation --> Alle Frequenzen (Bestimmte Frequenzen werden sowieso mit den Null-Amplituden eliminiert)

Habe ich das so richtig verstanden?

Ich habe auch noch eine Frage zur DFT bitte: http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=e0e320-139…

Bei der DFT können ja abgetastete Signale im Frequenzbereich dargestellt werden.

Aber meinem Bild kann ich nicht so wirklich entnehmen, wie das genau funktioniert. Vielleihct kannst du mir das mal grundsätzlich erklären, wei das funktionert, also warum man einfach so ein abgetastetes Signal, wo man nur ein paar Werten hat im Frequenzbereich darstellen kann bitte.

Vielleicht verstehe ich dann das Skriptum besser.

#7

Hallo, vergiss das oben geschriebene bitte, kannst du bitte bei folgenden helfen?

Hier das bild dazu: http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=e0e320-139…

Das verstehe ich nun, aber ich hätte eine Frage zur DFT nun.

Die DFT wendet man ja an, wenn man ein abgetastetes Signal vorliegen
hat. Also ein zeitdiskretes Signal.

Hier in Bild nimmt man die Fourier-Reihe und wandelt diese in die DFT
um. Aber, warum gerade die Reihe? „Weil man nur mit endlichen
Zeitfesnter arbeiten kann“. Warum nimmt man das als Begründung?

Nun sind hier 5 Punkte, die die „Wandlung“ beschreiben.

Punkt 1: dt wird zu Ts. Wie kann etwas, dass mit der Integration zu tun
hat zu Ts werden? Warum muss man mit Ts multiplizieren?

Punkt 2: Statt t nimmt man n*Ts. Naja klingt eigentlich ganz plausibel.
Das signal ist ja nicht mehr kontinuerlich, also kann man nicht mehr mit
der „echten Zeit“ gehn. n ist hier bei welchen Sample man gerade ist und
Ts ist der Abstand zwischen den einzelnen Samples und 1/Ts ist die
Samplefrequenz.

Richtig?

Punkt 3: Weil hier Zeitfenster erwähnt wird: Man hat ein
kontiunierliches Signal und multipliziert es mit einem Fenster, dass
z.b. 5sec. dauert und das Endergebnis tastet dann ab und wendet die DFT
an. Stimmt das?

T soll ja die Periodendauer darstellen(Naja kein Signal ist periodisch,
aber man geht ja von der Fourier-Reihe aus und da ist es halt so). Naja
nun nimmt man N, also die Anzahl der Sampels(die es im Zeitfenster gibt)
und multipliziert es mit Ts(abstand der sampels in sec.) und hat somit
die ganze Fensterbreite.

Richtig?

Punkt 4: w0 ist ja bei der Reihe, die Grundfrequenz, also im Spektrum,
der Abstand der möglichen Frequenzen(ganzzahlige Vielfache von w0, muss
ja nicht jede vorkommen durch 0-Amplituden werden einige vielfache von
w0 eliminiert)
Und deltaw ist hier nun auch der Abstand zwischen den Sampels(nur im
Frequenzbereich).

Richtig?

Punkt 5:
omega ist die Signalfrequenz vom kontunierlichen signal? k*deltaw ist im
Prinzip dasselbe wie N*Ts im Zeitbereich, richtig?
Aber welche signalfrequenz?

Punkt 6: Naja was kann man dazu sagen? Integral wird zu Summe. Welche
Begründung?

Hm… ich bin gerade etwas verwirrt, bin mir nicht mehr soo sicher ob das
stimmt was ich geschreiben habe :/.

Weil nämlich ich sehe gerade im Spektrum das fs größer als die
Signalfrequenzen ist… hmm aber wie hängt das ganze zusammen? Muss auf
so nem Abtastpunkt im Frequenzbereich eine Frequenze sein oder kann es
auch außerhalb sein? Ich bin da gerade verwirrt.

Ich hoffe du kannst mir helfen! Bitte schreibe zu jedem meiner Kommentare dein
Kommentar darunter und wenn was fehlt bitte ergänzen!

Danke!

#8

Ich weiß nicht, ob es so hilfreich ist, die diskrete Fouriertransformation aus der Fourierreihe ableiten zu wollen, oder zu begründen, warum man die diskrete Transformation aus der Fourierreihe und nicht aus der reellen Fouriertransformation herleiten will.

Man kann auch alle Spielarten der Fouriertransformation so zusammenfassen: Es gibt zwei zueinander duale Darstellungen eines Signals. Das eine ist die Darstellung über der Zeitachse und das andere ist die Darstellung über der Frequenzachse, sprich das Spektrum. Beide Seiten können diskret oder kontinuierlich, periodisch und nicht-periodisch sein. Ist eine Seite diskret, ist die andere Seite periodisch und umgekehrt. Ist eine Seite kontinuierlich, ist die andere Seite aperiodisch. Diese vier Kombinationen gibt es:

diskrete Zeit und diskrete Frequenz: diskrete Fouriertransformation
kontinuierliche Zeit und diskrete Frequenz: Fourierreihe
diskrete Zeit und kontinuierliche Frequenz: Fourierreihe mit vertauschten Rollen von Zeit und Frequenz
kontinuierliche Zeit und kontinuierliche Frequenz: reelle Fouriertransformation

Die Transformation zwischen den beiden Darstellungen besteht stets darin, dass man Skalarprodukte von Signal mit Schwingungen verschiedener Frequenzen berechnet. Ist das Signal diskret, nimmt man diskrete Schwingungen und die Summe. Ist das Signal kontinuierlich, nimmt man kontinuierliche Schwingungen und das Integral. Ist das Signal periodisch, so nimmt man das Skalarprodukt nur über die Länge der Periode, denn das Skalarprodukt über die gesamte reelle Achse wäre meistens „unendlich“, und man nimmt dann auch nur die Schwingungen, die in eine Periode hineinpassen, sprich Oberwellen, sprich man bekommt ein diskretes Spektrum. Ist das Signal aperiodisch, so nimmt man das Skalarprodukt über die gesamte reelle Achse und muss jede reelle Frequenz beachten. Das Spektrum wird also kontinuierlich.

#9

Danke!

Ja, aber für was ist die DFT jetzt gut? Für periodische Signale? Schneited man nicht von einem kontinuierlichen signal was raus und tastet ab? Ich verstehe es nicht.

Und wie du auf meinen Bild siehst, gibt es Sd, Sd’ und Sd’’. Was ist da der Unterschied?

mfg