Wie kann 2^aleph null = Aleph 1 = c ( Kardinalzahl des Kontinnums) sein? Meine
Rechnung sieht wie folgt aus:
2^3 = 8
2^-3 = 1/8 = 0,125
2^-unendlich = 1/unendlich = 1/2^unendlich = 0
2^unendlich = 1/0 = unendlich = aleph null = 2x2x2…ad infinitum = c
Folglich ist 2^aleph null = aleph null = c
Aleph null ^aleph null = Aleph 1 = c^c
Hi,
wie Du auch im Wikipedia-Artikel zur Kontinuuumshypothesenachlesen kannst, bezeichnet „2 hoch aleph null“ keine Exponentiation, sondern es handelt sich um eine Schreibweise zur Bezeichnung der Potenzmenge.
Im übrigen kannst Du mit „unendlich“ nicht genauso rechnen wie mit endlichen Zahlen.
Gruß,
KHK
Moin,
unendlich ist keine Zahl mit der man rechnen könnte, sondern im Speziellen hier eine Eigenschaft von Mengen.
Daher kommt bei Rechnereien damit nichts vernünftiges raus.
Gandalf
Hi KHK!
Wieso soll mit unendlich nicht zu rechnen sein? Cantor hat damit auch gerechnet, obgleich er niemals seine Hypothese beweisen konnte.
1/unendlich = 0 = n/unendlich (n = jede posit. rationale Zahl). Diese Ergebnisse sind zwar nicht definiert. Aber was heißt nicht definiert? Und muss das so bleiben? Was heute noch unlogisch und undefiniert ist, kann morgen schon ganz alltäglich sein.
Schöne Grüße
P:S.: Es gibt Dinge, die sind unlogisch. Und es gibt Dinge, deren Logik man nicht erkennt
Hi Gandalf!
Auch danke für deine Antwort.
S. mein Kommentar an KHK ! Ich hoffe, du kannst ihn lesen.
Servus!
Moin,
Wieso soll mit unendlich nicht zu rechnen sein?
Sätze bitte zu Ende lesen! Ich schrob
Im übrigen kannst Du mit „unendlich“ nicht genauso rechnen wie mit endlichen Zahlen
was:heißt nicht definiert?
Das heißt, dass Du damit im Rahmen des allgemein anerkannten mathematiscfhen Kalküls nichts anfangen kannst.
Und muss das so bleiben?
Nichts muss. Aber um „die Mathematik zu verändern“, gilt es einen ganz schön hohen Berg zu erklimmen. Wenn Du dazu in der Lage bist, stellst Du Deine Fragen sicherlich nicht mehr in diesem Forum.
Was heute noch
unlogisch und undefiniert ist, kann morgen schon ganz
alltäglich sein.
„Was heute noch wie ein Märchen klingt, kann morgen Wirklichkeit sein. Hier ist ein Märchen von übermorgen: Es gibt keine Nationalstaaten mehr. Es gibt nur noch die Menschheit und ihre Kolonien im Weltraum. Man siedelt auf fernen Sternen. Der Meeresboden ist als Wohnraum erschlossen. Mit heute noch unvorstellbaren Geschwindigkeiten durcheilen Raumschiffe unser Milchstraßensystem. Eins dieser Raumschiffe ist die ORION, winziger Teil eines gigantischen Sicherheitssystems, das die Erde vor Bedrohungen aus dem All schützt. Begleiten wir die ORION und ihre Besatzung bei ihrem Patrouillendienst am Rande der Unendlichkeit.“
Selbst McLane ist nur bis an den Rand gekommen.
Schöne Grüße
Desgleichen
P:S.: Es gibt Dinge, die sind unlogisch. Und es gibt Dinge,
deren Logik man nicht erkennt
Und es gibt Kuchen.
2 Like
Moin,
Wieso soll mit unendlich nicht zu rechnen sein?
siehe meine andere Antwort.
Cantor hat
damit auch gerechnet, obgleich er niemals seine Hypothese
beweisen konnte.
welche Hypothese? Die Kontinuumshypothese?
Die beschreibt einen sehr speziellen Aspekt der Eigenschaft ‚unendlich‘, nämlich den, ob es zwischen der Mächtigkeit ‚Abzählbar unendlich‘ (= ganze Zahlen, rationale Zahlen) und der Mächtigkeit ‚Überabzählbar unendlich‘ (= reele und komplexe Zahlen) eine weiter Form der Mächtigkeit gibt, die irgendwie dazwischen liegt. Speziell, ob es unednlich große Teilmengen der reelen Zahlen gibt, die nicht überabzählbar unendlich sind.
1/unendlich = 0 = n/unendlich (n = jede posit. rationale
Zahl). Diese Ergebnisse sind zwar nicht definiert.
Der Grenzwert! der Folge 1/n mit n -> Unendlich ist null. Für jede! Zahl ist 1/n definiert.
Aber was
heißt nicht definiert? Und muss das so bleiben? Was heute noch
unlogisch und undefiniert ist, kann morgen schon ganz
alltäglich sein.
Was meinst Du damit?
Neue Axiome?
Gandalf
Hi,
P:S.: Es gibt Dinge, die sind unlogisch. Und es gibt Dinge,
deren Logik man nicht erkenntUnd es gibt Kuchen.
und es gibt Dinge, die retten einem den Tag!
Danke und *
Gandalf
Hallo,
da dir offensichtlich die bisher erfolgten Antworten nicht ausreichen, noch ein Versuch:
Aleph0 ist die Kardinalität einer abzählbar unendlichen Mengen (z.B. N, Z, Q)
c ist die Kardinalität der reellen Zahlen R
Die Kontinuumshypothese besagt, dass es zwischen aleph0 und c keine weitere Kardinalität gibt, dass also c = aleph1 ist.
Dass c aleph0 ist, ist relativ einfach zu beweisen (c ist die Kardinalität der Potenzmenge von N, daher die Schreibweise c = 2^|N|). Die Frage ist nur, ob es irgendetwas dazwischen gibt. Cantors Hypothese ist: Nein.
Diese Hypothese ist im relevanten Axiomensystem nicht beweis- oder widerlegbar. (Das zeigte, wenn ich mich richtig erinnere, Gödel.)
Jetzt hast du die These aufgestellt, mit Unendlichkeiten rechnen zu können. Ja, das geht - aber es gelten andere Regeln als im Endlichen.
So gilt z.B. im Endlichen, dass eine echte Teilmenge T einer Menge M immer weniger Elemente hat als M: |T| w + 1
(1 + w = {der nullte} vereinigt mit {der erste; der zweite; …}; während w + 1 = {der erster; der zweite; …}vereinigt mit {der nullte} - wobei der nullte nach dem „unendlichsten“ kommt).
Analog kann man w + 2, w + 3, … definieren, somit w + w =: 2w, dann auch 3w etc - jedes Polynom in w ist erlaubt. Allerdings gilt NICHT die Kommutativität!
Du hast weiterhin die These aufgestellt, man könne die Mathematik durch Definitionen erweitern. Das geht natürlich, das wird jeden Tag gemacht. Aber:
- Die Definitionen dürfen nicht im Widerspruch zur bisherigen Mathematik (d.h. in einem mathematischen System zu den dieses System definierenden Axiomen) stehen
- Die Definitionen müssen eindeutig (der Mathematiker spricht von „wohldefiniert“) sein.
So ist der Ausdruck 0/0 undefiniert. Er kann auch nicht definiert werden, weil jede Definition dieses Ausdrucks vom Kontext abhängt und somit nicht wohldefiniert ist. Aber du kannst Grenzwert von Quotienten von Funktionen definieren, also z. B. lim (x ->0) sinx/x, auch wenn der Grenzwert des Zählers wie der Grenzwert des Nenners 0 ist, du also sozusagen ein 0/0 hast.
So, wenn du von den ganzen Geschwafel nichts oder wenig verstanden hast, muss ich dich leider enttäuschen. Dann reicht dein Wissen leider nicht aus, mit Cantor mitzuhalten.
Viele Grüße
Bombadil
Hi Bombadi!
0/0 = 0, weil 0 x 0 = 0
0/0 = 1, weil 1 x 0 = 0
0/0 = n-beliebig, weil n-beliebig x 0 = 0 …n-beliebig = jede beliebige rationale Zahl
1 -1 = 0, aber aleph null - aleph null ist nicht 0, sondern unverändert aleph null! Das ist transfinite Logik, die im Widerspruch zur bisherigen Mathematik steht. Trotzdem ist das Ergebnis richtig! Transfinite Arithmetik hat ihre eigene wohldefinierte
Gesetzmäßigkeit.
Und tschüss!
Hi Gandalf!
Der Mathematiker P. Cohen hat nachgewiesen, dass die K-Hypothese vollkommen unabhängig von den Axiomen der Mengenlehre ist, und dass es unmöglich sei, sie im gegenwärtigen System zu beweisen.
Daraus kann geschlussfolgert werden, dass hierfür eine völlig andere, eine transfinite Arithmetik und damit neue Axiome erforderlich ist. Allenfalls wird sich die K-Hypothese niemals enträtseln lassen.
Schönen Sonntag
Ob ein Ergebnis vernünftig erscheint oder nicht, das spielt in der Mathematik keine Rolle. Das Ergebnis muss stimmig und nachvollziehbar sein.
Pi ist eine absolut unvernünftige und dennoch reale Zahl. Sie führt uns alle an der Nase herum mit ihrer unendlichen Nachkommastelle.
Was ergibt pi/2 ? oder pi^2 ? oder gar pi^p^ ? Keiner weiß es. Kein Professor dieser Welt weiß es.
Ich sage: Wir wissen es noch nicht!
Bitte veröffentliche deine bahnbrechenden Erkenntnisse in einer anerkannten Fachzeitschrift. Hoffentlich erkennen die Editoren deine Genialität. Vielleicht kannst du deine Erkenntnisse auch bei arxiv hochladen. http://arxiv.org/help/license
Für die Fieldsmedaille bist du hoffentlich noch nicht zu alt.
Kopf hoch
Don’ feed the trolls
Darf ich ein bisschen persönlich werden?
Diese Aussage zeigt mir, dass du leider sehr wenig Wissen und noch weniger Verständnis für hohe Mathematik hast. Du verwendest Fachbegriffe, ohne die darunter liegende Mathematik durchdrungen zu haben.
Das ist ein bisschen so, wie ein Erstklässler, der die Buchstaben kennt und darum glaubt, Goethe kritisieren oder verbessern zu können. Das kann nicht gut gehen.
Ein Mathematiker sagte mal, je mehr Mathematik er kenne, desto mehr merke er, wie wenig er wisse. Wie es bei den anderen Wissenschaften ist, weiß ich nicht - aber die „echten“ Mathematiker, die ich kennenlernen durfte, waren sich ihrer Grenzen sehr bewusst und bewahrten eine große Bescheidenheit.
Viele Grüße
Bombadil
1 Like
von sich auf andere schließen?!
Moin,
ich möchte mich den Ausführungen von Bombadil vollumfänglich anschließen.
Gandalf