Liebe/-r Experte/-in,
Ich bereite mich gerade für eine Mathe-Schulaufgabe (FOS Bayern) vor u. verzweifele an folgender Aufgabe.
Wer kann mir helfen:
„Gesucht ist eine ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph den Ursprung und den Punkt Q (3;6,75) enthält. Außerdem hat f im Ursprung eine waagrechte Tangente und für x=3 und x=5 die gleiche Steigung.“
Vielen Dank vorab für die Mühe.
Hallo,
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion f dritten Grades,
Also f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d mit zu bestimmenden reellen Koeffienten a, b, c, d.
deren Graph den Ursprung
Also ist f(0) = d = 0.
und den Punkt Q (3;6,75) enthält.
Also ist f(3) = 27a + 9b + 3c = 6,75.
Außerdem hat f im Ursprung eine waagrechte Tangente
Da f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c, lautet die Bedingung f’(0) = c = 0.
und für x=3 und x=5 die gleiche Steigung.
Also f’(3) = 27a + 6b = f’(5) = 75a + 10b.
Da c = d = 0 sich schon so bequem ergeben haben, bleibt also nur noch das Gleichungssystem
\left{\begin{array}{lll}27a &+ 9b &= 6,75\ (75-27)a &+ (10-6)b &= 0\end{array}\right.
zu lösen. Schaffst Du das?
Schöne Grüße,
Manfred
Lieber Fragesteller,
leider spezifizieren Sie nicht die Art der Hilfe, die Sie benötigen. Ich vermute, Sie finden nicht den Ansatz. Hier ist einer:
Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades ist eine Funktion mit einer Variablen x und den Parametern A, B, C und D in der Form f(x) = A*X^3 + B*x^2 + C*X + D.
Ihre Aufgabe besteht darin, die Werte der Parameter A, B, C und D zu berechnen. Das machen Sie, indem Sie mit Hilfe der Nebenbedingungen, die in der Aufgabenstellung angegeben sind, ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten (nämlich A, B, C und D) aufstellen und lösen. Bitte erinnern Sie sich daran, dass die Steigung und die Tangente einer Funktion etwas mit der Ableitung einer Funktion zu tun haben und dass eine waagerechte Tangente die Steigung 0 hat.
Die waagerechte Tangente im Ursprung und die Tatsache, dass die Funktion durch den Ursprung geht, machen die Lösung übrigens besonders einfach, weil Sie dadurch ganz leicht die Lösungen für die Parameter C und D erhalten, sodass Sie nur noch A und B berechnen müssen.
Viel Spaß beim Lösen.
Mit freundlichen Grüßen
Thomas Klingbeil
Hi!
Ganzrational 3. Grades heißt:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Tangentensteigung bedeutet f’(x), also
4 Gleichungen, 4 Unbekannte. LGS lösen. Fertig.
(Zur Kontrolle: a= -1/12, b=1, c=0, d=0)
FHL
Hallo, hier ein Lösungsansatz.
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d (allgemeine ganzrationale Funktion 3. Grades - zu berechnen sind a, b, c, d)
f enthält den Ursprung, also (0;0). Einsetzen von x = 0 und y = 0 ergibt:
0 = d, also f(x) = ax^3+bx^2+cx
f’(x) = 3ax^2+2bx+c
Waagerechte Tangente (f’(x) = 0) im Ursprung:
0 = c, also f(x) = ax^3+bx^2 und f’(x) = 3ax^2+2bx
Die gleiche Steigung in f(3) und f(5): f’(3)=f’(5) 27a+6b=75a+10b (wenn ich nicht verrechnet habe) b = (12)a
f enthält Punkt (3; 6,75): 6,75 = 27a+9b
Aus den beiden letzten Gleichungen kannst Du jetzt a und b berechnen.
Viel Erfolg! 
Hallo!
Also, wir haben eine Funktion deren Graph ist eine ganzrationale Kurve. Als Ursprung ist gewählt der Punkt P(xo,yo), wo xo=3; yo= 6,75. Und, in Punkten P1 und P2 mit X-Koordinaten x1 =3 und x2 = 5 diese Kurve hat die gleiche Steigung.
Die Funktion, laut Bedingungen, soll so aussehen:
y=f(x)
mit
f(x)= ax3+bx2+cx +r
Hier, {a,b,c,r}, - sind, bisher, uns unbekannte Konstanten.
Laut der Definition der Tangente, die Tangente ist es, die Gerade, die, im Ursprung, die gleiche Steigung haben soll, wie die Kurve selbst, also, - die gleiche Ableitung.
Die Funktion von Tangente, laut der obenerwähnten Definition, soll heißt es, so aussehen:
y = yo + k(xo)(x-xo)
wo:
k(xo)= (df/dx)(xo)
Wenn die Tangente waagerecht ist, dies bedeutet
k(xo) = 0
Jetzt, wir haben ausreichend Informationen um die gesuchte Funktion zu identifizieren.
Also, wir haben, laut den Bedigungen:
k(xo) =3axo2 + 2bxo+c= 0
Im Punkten P1 und P2 mit Koordinaten x: x1 =3 und x2=5 die Stegungen sind gleich, das heißt:
k(x1) = k(x2)
oder:
3ax12 + 2bx1+c= 3ax22 + 2bx2+c
Also, wir haben System von Gleichungen:
k(xo) =0
k(x1) = k(x2)
Somit, soll sein:
3axo2 + 2bxo+c= 0
3ax12 + 2bx1+c= 3ax22 + 2bx2+c
Oder:
3.9.a+2.3.b +c=0
3.9.a+2.3.b +c=3.25.a + 2.25.b+c
Das heißt:
3.9.a+2.3.b +c=0
3.9.a+2.3.b =3.25.a + 2.5.b
Oder:
27.a+6.b +c=0
12a+b=0
Dazu, wir sollen anfordern, dass diese Kurve den Punkt P überquert, eben, das heißt:
axo3+bxo2+cxo +r =yo
27a +9b + 3c +r =6,75
Also, wir haben das System zu lösen:
27.a+6.b +c=0
12a+b=0
27a +9b + 3c +r =6,75
Wir sehen, dass die Zahl von Unbekannten {a,b,c,r} größer ist als die Zahl von Gleichungen. Aber, das tut nicht. Dies bedeutet nur, dass wir können mehr Funktionen anbauen, - die den Bedungengen entsprechen, - als nur eine. Darum, wir ernennen Konstante „a“ als uns bekannte. Dann:
b= - 12a
c= - (27a-6 (12)a)= 45a
r = 6,75 - (27a +9b + 3c ) =6,75 - (27- 9(12) +3(45))a =
= 6,75 - (27 -108+135)a = 6,75 - 54a
Das heißt, die Klasse von gesuchten Funktionen sieht so aus:
y= ax3 -12ax2 +45ax +6,75 - 54a
Hier, ist es noch zu bemerken, dass „a“ soll nicht gleich Null sein, ansonnsten die ganzrationale Funktion „f“ wird nicht des driten Grades.