Frieder rudert

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Frieder möchte schnellstmöglich vom Punkt A auf der einen Seite des Flusses zum Punkt B auf der andern Seite gelangen. B ist 100m von dem A genau gegenüberliegenden Punkt C entfernt. Peter hat in A ein Kanu zur Verfügung, mit dem er eine Geschwindigkeit von 5km/h erreicht. Zu Fuß ist er mit 10km/h unterwegs. Die Flussbreite beträgt 50m. Es herrscht keine Strömung vor.

Frage:
Wie weit ist der Punkt X, zu dem Peter paddeln muss vom Punkt C entfernt, um in möglichst kurzer zeit zum punkt B zu gelangen?

#2

natürlich paddelt Frieder…

Frage:
Wie weit ist der Punkt X, zu dem Frieder paddeln muss vom Punkt
C entfernt, um in möglichst kurzer zeit zum punkt B zu
gelangen?

#3

Ich habs gerechnet und die Lösung gecheckt!!!
Der Punkt X ist Wurzel(2500/3) Meter entfernt, also etwa 28,87 Meter!!! und man braucht insgesamt rund 67,18 Sekunden
Das war aber eher Mathematik als Denkspielerei:
Mit der Formatierung hab ich echt ein Problem…
Ich hab das mit Vektorrechnung gemacht mit (-> 0A)= (0/100)
(-> 0C)= (50/100)
(-> 0B)= (50/0)
(-> 0X)= (50/X2)

A---------C
\
\
\
X
/
/
0 B

Dann ist der Abstand AX Wurzel[50^2 + (X2-100)^2] und der Abstand XB ist gleich X2.
Jetzt erfinde ich eine gewichtete Zeitfunktion in Abhängigkeit von X2, wobei ich allerdings die tatsächlichen Geschwindigkeiten weglasse und die Geschwindigkeiten nur relativ betrachtete:
t-rel.(X2)= 2*Wurzel(X2^2-200*X2+12500) + X2
Ableien ergibt:
t’-rel.(X2)= [(2*X2-200)/Wurzel(X2^2-200*X2+12500)] + 1
Tiefpunkt (im Definitionsbereich für X2) errechnen spare ich mir jetzt. Heraus kommt X2= 100-Wurzel(2500/3) also etwa 71,13
Die Strecke AX ist dann etwa 57,74 Meter lang

Die gesamte Zeit errechne ich mit t= s/v und rechne dazu die Geschwindigkeiten in m/s um…

t ges. = 57,74m/[(25/18)m/s] + 71,13m/[(25/9)m/s] = 67,18 Sekunden

VG, Stefan

#4

Punkt X ist ca. 28,8675m von Punkt C entfernt (natürlich in Richtung B von C aus).

Lösungsweg:

x sei die Länge der Strecke von C bis X.
Zeit zum Erreichen des Punktes B
t = (100-x)/10000 + sqrt(50^2+x^2)/5000

Da die genaue Zeit nicht wichtig ist, können konstante Faktoren weggelassen werden:
t = 50 - x/2 + sqrt(50^2+x^2)

Von t wird nun ein Minimum gesucht, daher: 1. Ableitung bilden:

t’ = -1/2 + 2x/(2sqrt(50^2+x^2))

Für ein Mimimum muss t’ = 0 sein:

0 = -1/2 + 2x/(2sqrt(50^2+x^2))

2x = sqrt(2500+x^2)
=>
4x^2 = 2500+x^2

x^2 = 2500/3

x = sqrt(2500/3) oder x = - sqrt(2500/3). Ein negatives x macht keinen Sinn,
also
x = sqrt(2500/3) = 28,8675…

Die Überprüfung, ob die gefundene Extremstelle wirklich ein Minimum ist entfällt, da auf jeden Fall ein Minimum vorhanden sein muss.

Sebastian.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#5

Ach ich war zu spät :frowning:
Naja, wenigstens haben wir die gleiche Lösung raus…
Stefan

#6

Hi !

Mal sehen, ob ich die Ausgangssituation richtig erfasst habe:

 | | B
 | Fluss/|
 | / | 1
 | / | 0
 | / | 0
 | / | m
 | /50m |
 A || C

Unsere Aufgabe soll jetzt sein, unter Optimierungsgesichtspunkten den zeitlich schnellsten Weg von A nach B zu bestimmen?

Voraussetzungen
im Wasser v = 5 km/h
zu Lande v = 10 km/h?

Hab ich es so richtig verstanden?

BARUL76

#7

Ich denke ja…

*g*