Funktion aus gegebenen Werten erstellen?

[lembi_fee4fd]

Guten Morgen liebes Forum.

Ich hab da mal ein Problem, bei dem ich nicht weiter komme. Schulzeit is ja schon lange her und ich kann mich dunkel erinnern, das wir uns mal mit Funktionen befasst haben, aber das war schon damals nicht meine Stärke :o)

So, zum Problem: Ich habe eine Reihe gegebener Werte aus einer Messung (Wasserwerte Redoxspannung und Chlorgehalt). Zu diesen Werten hätte ich nun gerne eine Formel gebastelt, die die entsprechende Kurve in etwa beschreibt. Nachdem das ja gemessene und nicht errechnete Werte sind, geht das natürlich nur Annäherungsweise.
Der Graph, der sich aus den Werten ergibt sie so aus. (Bild hier: http://www.lembi.de/www/graph.jpg
Wert selber habe ich folgende:
X-Achse || Y-Achse
651 || 0,38
674 || 0,64
684 || 0,75
706 || 1,03
717 || 1,20
732 || 1,52
751 || 1,92
762 || 2,20
788 || 3,01
820 || 4,42
…wie gesagt, das sind gemessene Werte mit einer Redoxsonde und einem Photometer - für die Spannung (x-Achse) und den Chlor-Gehalt, der auf der Y-Achse dargestellt wird.

Kann mich da mal irgendjemand bitte in die richtige Richtung schupfen und mir nen Tipp geben oder einen Lösungsansatz erklären - der für nicht Mathematiker verständlich ist - wie ich mit diesen Werten zu einer Funktion komme?

Komplizierter würde es dann noch im zweiten Teil werden :o) (der sei aber jetzt mal dahin gestellt). Diese Werte entsprechen einer Messung bei einm PH-Wert des Wassers von 7,21… wird der PH-Wert niedriger, erhöht sich die Redoxspannung bei gleichem Chlor-Gehalt… (und umgekehrt). Messreihen dazu gibt’s aber noch nicht. Das ist also momentan nicht so wichtig.

Wäre für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Alex

[Disap_b10461]

Hallo lembi.

Ich hab da mal ein Problem, bei dem ich nicht weiter komme.
Schulzeit is ja schon lange her und ich kann mich dunkel
erinnern, das wir uns mal mit Funktionen befasst haben, aber
das war schon damals nicht meine Stärke :o)

In der Schule wird das immer so gemacht, dass wenn du 10 Punkte hast, dann nimmst du eine Funktion 9. Grades

f(x) = ax^9+bx^8 + cx^7 …

setzt da die Werte ein und löst dann das Gleichungssystem.

So, zum Problem: Ich habe eine Reihe gegebener Werte aus einer
Messung (Wasserwerte Redoxspannung und Chlorgehalt). Zu diesen
Werten hätte ich nun gerne eine Formel gebastelt, die die
entsprechende Kurve in etwa beschreibt. Nachdem das ja
gemessene und nicht errechnete Werte sind, geht das natürlich
nur Annäherungsweise.
Der Graph, der sich aus den Werten ergibt sie so aus. (Bild
hier: http://www.lembi.de/www/graph.jpg
Wert selber habe ich folgende:
X-Achse || Y-Achse
651 || 0,38
674 || 0,64
684 || 0,75
706 || 1,03
717 || 1,20
732 || 1,52
751 || 1,92
762 || 2,20
788 || 3,01
820 || 4,42
…wie gesagt, das sind gemessene Werte mit einer Redoxsonde
und einem Photometer - für die Spannung (x-Achse) und den
Chlor-Gehalt, der auf der Y-Achse dargestellt wird.

Kann mich da mal irgendjemand bitte in die richtige Richtung
schupfen und mir nen Tipp geben oder einen Lösungsansatz
erklären - der für nicht Mathematiker verständlich ist - wie
ich mit diesen Werten zu einer Funktion komme?

Das Stichwort, nachdem du vielleicht suchst, ist das der „Interpolation“.
Siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Interpolation_%28Mathem…

Es gibt allerdings noch weitere Verfahren, vielleicht aus dem Bereich der Stochastik (Methode der kelinsten Quadrate):
http://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Q…

Vorab kann ich dir aber leider nicht sagen, welches Verfahren die beste Approximation liefert.

Disap

[Jo1_a88223]

Hallo,

In der Schule wird das immer so gemacht, dass wenn du 10
Punkte hast, dann nimmst du eine Funktion 9. Grades

f(x) = ax^9+bx^8 + cx^7 …

Ohjeh. Man kann auch ein Polynom 10. Grades nehmen

Im Ernst: Dieser „Lösungsansatz“ in der Schule dient nicht dazu, Beziehungen zwischen „echten“ Variablen sinnvoll/brauchbar abzubilden, sondern dazu, Schülern das Ausfstellen von Gleichungssystemen beizubiegen.

In der Schule MUSS man sogar Polynome so hoher Grade nehmen, weil die Funktionsgraphen genau DURCH die gegebenen Punkte durchgehen müssen. Sonst kann man das mit Schulalgebra nicht mehr so einfach lösen. Dann brauchte man Regressionsverfahren, wobei Parameter der Funktion so bestimmt werden, dass die Summe der Abweichungsquadrate zwischen Funktionswerten und gegebenen Werten minimiert wird (eigentlich auch nur eine Extremwertaufgabe, wie sie in der Schule gerechnet werden).

Real muss man sich schon fragen, ob sich ein Polynom höheren Grades als 3 rechtfertigen läßt.

VG
Jochen

[Anonym_e52f27a38f6b]

oT: Interpolationspolynome
Hallo Jochen!

Real muss man sich schon fragen, ob sich ein Polynom höheren
Grades als 3 rechtfertigen läßt.

Wenn Du Quadratur durchführen willst, bieten sich Interpolationspolynome geradezu an.

Wenn man nur einen funktionellen Zusammenhang sucht, dann meist eher nicht.

Liebe Grüße
Immo

[Anonym_e52f27a38f6b]

Hallo Alex,

zuerst brauchst Du einen begründeten Verdacht: Du musst wissen, ob Du einen exponentiellen Zusammenhang oder einen quadratischen Zusammenhang beschreiben willst. (Eines von beiden wird’s sein, die Kurve sieht danach aus.) Es sieht eher exponentiell aus.

Dann stellt sich die Frage, ob Du mit einer bestimmten Messgenauigkeit gearbeitet hast und deshalb Deine Funktion innerhalb der Fehlerintervalle der einzelnen Werte verlaufen sollte.

Schau Dir mal diese Seite an: http://de.wikipedia.org/wiki/Ausgleichungsrechnung, insbesondere den Abschnitt „Unterschiede zwischen Regression und Fit“. Dann teil uns mit, was Du möchtest, und Dir kann geholfen werden.

Liebe Grüße
Immo

[Hasenfu]

Hossa lembi

Die Punkte sind nicht so einfach durch eine Funktion zu beschreiben. Ich habe sie mal logarithmisch aufgetragen, jedoch kommt dabei keine Gerade heraus.

Hinter deinen Messwerten steht doch ein theoretisches Modell, aus dem müsste sich zumindest die Art der Kurve (exponentiell, quadratisch, kubisch, …) ergeben. Also bei einem exponentiellen Verlauf etwa so: f(x)=a*e^(b*x). Die Werte a und b kann man dann so bestimmen, dass sie „am besten“ zu den Messwerten passen.

Kennst du die Form der Kurve nicht theoretisch, wird es bei diesen 10 Punkten schwierig, die Form zu „erraten“. Du kannst jedoch immer ein Polynom durch die Punkte legen. Jedoch hilft dir ein Polynom 10-ten Grades auch nicht wirklich weiter…

Hast du eine Vermutung, wie die Funktionsgleichung grob aussieht?

Viele Grüße

Hasenfuß

[lembi_fee4fd]

zuerst brauchst Du einen begründeten Verdacht: Du musst wissen, ob u einen exponentiellen Zusammenhang oder einen quadratischen :Zusammenhang beschreiben willst. (Eines von beiden :wird’s sein, die Kurve sieht danach aus.) Es sieht eher exponentiell aus.

Nach meinem Verständniss der „zu Grunde liegenden Chemie“ muss das ne Exponentialfunktion sein. Der Nullpunkt liegt, zumindest theoretisch, tatsächlich bei 0mV und 0mg Chlor (oder irgendeinem anderen Oxidationsmittel) - praktisch ist aber schon bei ~450mV kein Chlor mehr mit normalen(!) Mitteln messbar (könnte man also auch als 0-Chlor annehmen). Nach oben hin wird die Kurve dann eben immer steiler.

Dann stellt sich die Frage, ob Du mit einer bestimmten Messgenauigkeit gearbeitet hast und deshalb Deine Funktion innerhalb der Fehlerintervalle der einzelnen Werte verlaufen sollte.

Ungenauigkeit ist sicherlich, aufgrund des Photometers (zum ermitteln des Chlor-Gehalt), vorhanden… +/- 0.1 laut Hersteller (bezieht sich aber auf die generelle „Richtigkeit“ des Wertes. 3, 4 Vergleichsmessungen nacheinander ergeben aber eine Reproduzierbarkeit (des vielleicht „falschen“ Wertes) von +/- 0.02. Die Ergebnisse wären also für den eigentlichen Zweck mehr als genau genug. Muss nur eine annähernd richtige Funktion dazu finden. :o)

Hinter deinen Messwerten steht doch ein theoretisches Modell, aus dem müsste sich zumindest die Art der Kurve (exponentiell, quadratisch, kubisch, …) ergeben. Also bei einem exponentiellen Verlauf etwa so: f(x)=a*e^(b*x). Die Werte a und b kann man dann so bestimmen, dass sie „am besten“ zu den Messwerten passen. Kennst du die Form der Kurve nicht theoretisch, wird es bei diesen 10 Punkten schwierig, die Form zu „erraten“. Du kannst jedoch immer ein Polynom durch die Punkte legen. Jedoch hilft dir ein Polynom 10-ten Grades auch nicht wirklich weiter…

…siehe oben. Müsste eine exponentieller Verlauf sein. So deute ich zumindest auch die Grafik, die ich verlinkt habe (die sich aus den Messwerten ergibt).

Vielen Dank für euer Interesse , Ich spiele gerade schon mit den Wiki-Links und den Beispielen da drin… so recht klar komm ich aber nicht. Methode des kleinsten Quadrates… da gibts ein Beispiel für ne lineare Modellfunktion… das bring ich noch hin - ist aber halt linear und größtenteils entsprechend weit weg von den tatsächlichen Werten. Hier mit „polynomialen Ausgleichskurve“ komm ich noch nicht klar *g*. Werde mir gleich mal noch den Link von Vokietis zur Ausgleichsrechnung ankucken.

Gibts eigentlich keine Software, die sowas kann… Werte eintragen und die schmeisst dann ne passende Formel dazu raus? …vermutlich nicht.

Danke schön
Alex

[Anonym_e52f27a38f6b]

Hallo Alex!

Gibts eigentlich keine Software, die sowas kann… Werte
eintragen und die schmeisst dann ne passende Formel dazu raus?

Da gibt’s viele, das kann sogar Excel: Diagramm erstellen, Trendlinie hinzufügen. Im Diagrammdialog gibt’s dann die Option für die Trendlinie „exponentiell“ und ein Kästchen „Gleichung im Diagramm anzeigen“. (Hab das zuletzt mit Office 2000 gemacht, die Bezeichnungen haben sich seitdem sicher geändert.)

Liebe Grüße
Immo

[Hasenfu]

Hossa

Wenn du einen exponentiellen Verlauf vermutest, gibt es eine sehr einfache Möglichkeit. Die Kurve hat ja dann die Form:

y= a\cdot e^{bx}

Dein Ziel ist es nun, a und b möglichst gut zu wählen. Dazu kannst du von den y-Werten den natürlichen Logarithmus nehmen:

\ln(y)= \ln(a)+bx

Wenn du diese Logarithmenwerte in ein Diagramm einträgst, erhälst du eine Gerade. Die Parameter ln(a) und b kannst du dann mit Hilfe einer linearen Regression bestimmen. Das ist z.B. in Excel bereits eingebaut. Und wenn du ln(a) kennst, kannst du auch a schnell bestimmen.

Diese Methode ist nicht optimal, weil Messungenauigkeiten bei kleinen y-Werten überbewertet werden, aber für eine recht gute Abschätzung reicht sie aus. Willst du die optimalen Werte für a und b bestimmen, musst du über die Methode der kleisten Quadrate gehen. Sag einfach hier Bescheid, dann kann ich dir was dazu schreiben.

Viele Grüße

Stefan

[Jo1_a88223]

Hallo,

Gibts eigentlich keine Software, die sowas kann… Werte
eintragen und die schmeisst dann ne passende Formel dazu raus?

Da gibt’s viele, das kann sogar Excel:

Ich denke, lembi meinte was anderes: Man schmeißt Daten rein und das Proggi sagt einem: „Das ist eine sigmoidale Funktion der Form blabla mit den Parameterwerten blah und blah…“ oder „das hier ist eine Wurzelfunktion…“ oder sowas.

Nee, sowas gibt es nicht. Der Mensch muss vorher mit Erfahrung und vor allem mit Sachverstand eine Funktion festlegen, die „gefittet“ werden soll. Programme, die dann für gegebene Daten die optimalen Parameterwerte für die Funktion bestimmen, gibt es massig, und das macht auch Excel.

Diagramm erstellen,
Trendlinie hinzufügen. Im Diagrammdialog gibt’s dann die
Option für die Trendlinie „exponentiell“

Genau hier sagt DU ja der Software, welche Funktion gefittet werden soll. Das meinte ich.

Das im Diagramm zu machen, ist nicht sooo toll, weil man damit keine Angaben über die Güte der Anpassung bekommt (außer dem R², was sehr, sehr wenig brauchbare Information liefert). Man sollte schon Standardfeghler oder besser Konfidenzintervalle angeben (für die bestimmten Werte der Parameter oder für Vorhersagewerte). Das geht für die exponentielle Punktion mit Excel gerade noch so, ist aber schon umständlich: Die Funktion RKP gibt einem die nötigen Werte aus, daraus muss man dann schlau werden und sich die Konfidenzintervalle manuell berechnen. Statistik-Software macht das alles automatisch. Excel ist gut (genug) für einen groben Überblick, aber es macht es einem nie leicht, zu erfahren, wie *gut* oder *brauchbar* ein Modell ist oder Ergebnisse oder Vorhersagen sind.

VG
Jochen

[lembi_fee4fd]

Hallo Immo

Da gibt’s viele, das kann sogar Excel: Diagramm erstellen,
Trendlinie hinzufügen. Im Diagrammdialog gibt’s dann die
Option für die Trendlinie „exponentiell“ und ein Kästchen
„Gleichung im Diagramm anzeigen“. (Hab das zuletzt mit Office
2000 gemacht, die Bezeichnungen haben sich seitdem sicher
geändert.)

ich bin Platt, das geht ja tatsächlich. Danke für den Hinweis. :o). Excel bringt folgendes raus.

y = 5E-07x^3 - 0,001x^2 + 0,6607x - 148,36

Is das dann ein Polynom 3. Grades…? Mit ner Exponentialfunktion passt das Ergebniss bei weitem nicht so genau… zumindest nicht mit der von Excel vorgeschlagenen Funktion.
(Bild hier: http://www.lembi.de/www/graph1.jpg

• schwarze Linie ist die „Excel Funktion“
• gelbe Linie sind die blanken Messwerte (mit Messfehlern)

…jetzt kommt der Knackpunkt. Ich hab immer noch keine Ahnung, wie man das herleitet… und ich stelle mich gerade irgendwie doof an… oder Excel… wenn ich die Formel nachrechne (Taschenrechner) kommen für y ganz andere Werte raus als die, die der Graph zeichnet ???

Beispiel
x=706: y(gemessen)= 1,03;
y(laut Excel-Funktionsgraph) = ~1,10;
y(nach Formel berechnet) = -4,3939

…übersehe ich da was? Bin schon ganz wirr.

Gruß
Alex

[Jo1_a88223]

Hallo,

tatsächlich komme ich mit den von Dir angegebenen Werten auch auf

x=706: y(gemessen)= 1,03;
y(nach Formel berechnet) = -4,3939

Mein Excel (2003) rechnet aber anders:

y = 0.000000465047195821852x³ - 0.000909169735116473x² + 0.603218121980472x - 135.311631337049

und damit komme ich auf y(x=706) = 1.046

…übersehe ich da was? Bin schon ganz wirr.

Ja, irgendwo läuft da was schief… fang nochmal ganz neu an, ganz langsam. Am Ende sollte das schon alles zusammenpassen, und Excel zeigt (bis auf Rundungsfehler) auch die korrekten Werte an. Deine Konstante ist 148.36, meine ist 135.31, das ist kein Rundungsfehler. Auch der Koeffizien vor dem x ist so sehr unterschiedlich, dass es kein Rundungsfehler sein kann.

Ansonsten aber nochmal eine Anmerkung:

Wenn du einen bekanntermaßen exponentiellen Zusammenhang hast, solltest du auch eine exponentielle Funktion fitten, auch, wenn sie nicht ganz so toll zu den Daten passt! Du willst ja einen möglichst korrekten Zusammenhang und nicht etwas, was zwar perfekt ein (möglichen) Artefakt in den vorliegenden Daten beschreibt, aber systematisch an der Wharheit vorbeigeht!?

Und davon nochmal abgesehen, ist eine Parabel nicht viel schlechter, aber einfacher (wenn man schon nicht weiß, wie genau man es machen soll, dann gilt der Grundsatz: So einfach wie möglich! Und die „Verbesserung“ durch das kubische Glied ist statistisch nicht signifikant).

VG
Jochen

[lembi_fee4fd]

Hallo Stefan,

\ln(y)= \ln(a)+bx

Wenn du diese Logarithmenwerte in ein Diagramm einträgst,
erhälst du eine Gerade. Die Parameter ln(a) und b kannst du
dann mit Hilfe einer linearen Regression bestimmen. Das ist
z.B. in Excel bereits eingebaut. Und wenn du ln(a) kennst,
kannst du auch a schnell bestimmen.

Hab ich gerade versucht. Komme damit aber nicht wirklich auf einen grünen Zweig. Die Kurve passt nur an zwei drei Punkten (Messwerten), dann weicht sie recht stark ab. Werde da aber mal noch bisschen weiter mit spielen.
Könnte man daraus dann schliessen, das es keine Exponentialfunktion ist/wird, wenn man damit die Messreihe nicht sinnvoll beschreiben kann. Oder ist die Messreihe nix (ok, das wird sich nicht beantworten lassen )

Hab in 'nem anderen Posting geschrieben, das es mit nem Polynom(?) (in Excel versucht) ganz gut passt… ist aber für mich gar nicht nachvollziehbar, wie Excel drauf kommt.

Gruß
Alex

[Hasenfu]

Hossa

Hallo Stefan,

Hab ich gerade versucht. Komme damit aber nicht wirklich auf
einen grünen Zweig. Die Kurve passt nur an zwei drei Punkten
(Messwerten), dann weicht sie recht stark ab.

Das habe ich auch beobachtet und unten bereits gepostet. Wenn es eine Exponentialfunktion ist, muss sich bei der Transformation eine Gerade ergeben. Diese habe ich jedoch so nicht erkennen können. Daher ist es entweder keine Exponentialfunktion oder deine Messungen haben eine recht hohe Ungenauigkeit.

Könnte man daraus dann schliessen, das es keine
Exponentialfunktion ist/wird, wenn man damit die Messreihe
nicht sinnvoll beschreiben kann. Oder ist die Messreihe nix
(ok, das wird sich nicht beantworten lassen )

s.o.

Hab in 'nem anderen Posting geschrieben, das es mit nem
Polynom(?) (in Excel versucht) ganz gut passt… ist aber für
mich gar nicht nachvollziehbar, wie Excel drauf kommt.

Das ist oft ein Problem beim Anpassen von Polynomen. Du bekommst den physikalischen Zusammenhang nicht wirklich raus, sondern erhälst nur einen mathematischen Term, der die Kurve beschreibt. Normalerweise vermutet man eine bestimmte Kurvenform (wie du auf „exponentiell“ getippt hast) und bestimmt dann die exakten Parameter zu den Messwerten.

Das große Problem bei dir ist also, dass es keine vermutete Funktionsgleichung gibt…

Viele Grüße

Hasenfuß

[lembi_fee4fd]

tatsächlich komme ich mit den von Dir angegebenen Werten auch
auf

x=706: y(gemessen)= 1,03;
y(nach Formel berechnet) = -4,3939

Mein Excel (2003) rechnet aber anders:
y = 0.000000465047195821852x³ - 0.000909169735116473x² +
0.603218121980472x - 135.311631337049

und damit komme ich auf y(x=706) = 1.046

…hmm… danke für’s probieren. Werde ich mein Diagramm mal löschen und von vorne anfangen… vermutlich is da irgendwo, vom vielen ändern, der Fehlerteufel drin

Wenn du einen bekanntermaßen exponentiellen Zusammenhang hast,
solltest du auch eine exponentielle Funktion fitten, auch,
wenn sie nicht ganz so toll zu den Daten passt! Du willst ja
einen möglichst korrekten Zusammenhang und nicht etwas, was
zwar perfekt ein (möglichen) Artefakt in den vorliegenden
Daten beschreibt, aber systematisch an der Wharheit
vorbeigeht!?

Wie meinst Du das, „an der Wahrheit vorbei“… sicherlich ist das nur ein kleiner „Ausschnitt“ einer Messreihe, die man noch nach oben und unten weiterführen könnte. Es geht hier um die Messung bzw. Bestimmung (und irgendwann auch Regelung) des CL-Gehalts in einem Schwimmbad. Nunächst mal nur in meinem und wenn’s klappt, dann evtl auch im Freundeskreis
D.H. Der Ausschnitt… bzw. diese Messreihe beschreibt eigentlich schon 99% aller Zustände in diesem Wasser. Andere PH-Werte und daraus resultierende andere Redoxspannungen noch nicht… aber das kommt ja vielleicht noch irgendwie. Dazu muss ich noch bisschen Messen… habe aber am Wochenende meine ganzen Photometer-Tabletten (70 Stk) verbraten und warte auf Nachschub :o))

Hast Du jetzt damit gemeint, das die Excel Funktion eben vielleicht nur in diesem kleinen Bereich annähernd richtig ist und nach oben hin deutlich ungenauer wird (wird sie ja auch)?

Und davon nochmal abgesehen, ist eine Parabel nicht viel
schlechter, aber einfacher (wenn man schon nicht weiß, wie
genau man es machen soll, dann gilt der Grundsatz: So einfach
wie möglich! Und die „Verbesserung“ durch das kubische Glied
ist statistisch nicht signifikant).

…musst ich erst mal wieder googeln, was das kubische Glied ist *g*.
Sicher wäre 'ne Parabel „einfacher“, vermutlich vorallem wenn es dann mal darum geht noch unterschiedliche PH-Werte zu berücksichtigen.
Aber ich hab ja jetzt mal sehr gute Anhaltspunkte mit denen ich mich beschäftigen kann. Irgendwann wird dann hoffentlich eine einfachst mögliche und trotzdem ausreichend genaue Formel übrig bleiben… :o)

Gruß
Alex

[lembi_fee4fd]

Das habe ich auch beobachtet und unten bereits gepostet. Wenn
es eine Exponentialfunktion ist, muss sich bei der
Transformation eine Gerade ergeben. Diese habe ich jedoch so
nicht erkennen können. Daher ist es entweder keine
Exponentialfunktion oder deine Messungen haben eine recht hohe
Ungenauigkeit.

Gut, das mit den Messungen werde ich noch irgendwie verifizieren können. Ich mach noch ein paar andere „Messreihen“ mit 'nem anderen PH-Wert. Wenn sich die Kurven da „gleich“ verhalten, dann wird’s wohl einfach keine Exp-Funktion sein…
Mal sehen.

Vielen Dank auf jedenfall

[Paradigma]

Wichtig wäre zu erwähnen, das Regressionsdiagramme auf einem Punkt(x,y)-Diagramm aufbauen müssen, sonst misst Deine x-Achse Mondnummern und Deine Regressionsfunktion auch.
BTW. MIt den Nachkommastellen nicht zu knauserig sein…

Gruß HW

[lembi_fee4fd]

Wichtig wäre zu erwähnen, das Regressionsdiagramme auf einem
Punkt(x,y)-Diagramm aufbauen müssen, sonst misst Deine x-Achse
Mondnummern und Deine Regressionsfunktion auch.
BTW. MIt den Nachkommastellen nicht zu knauserig sein…

Ja, danke, gerade wollt ich’s schreiben, das meine von Excel ausgegebene „Formel“ vorrangig wegen zu wenig Dezimalstellen so falsch war :o) (und ich noch ein paar zusätzliche Werte drin stehen hatte, als nur die die ich gepostet hatte). Ansonsten kommt jetzt dann doch mal das gleiche raus wie Jochen schon gepostet hatte. Danke nochmal.
Punktdiagramm war es.

Kann mir evtl. noch jemand sagen wie man diese Werte, die Excel da „anbietet“, rechnerisch ermitteln kann… oder geht das leichter/nur über probieren?

Gruß
Alex

[Jo1_a88223]

Wie meinst Du das, „an der Wahrheit vorbei“… sicherlich ist
das nur ein kleiner „Ausschnitt“ einer Messreihe, die man noch
nach oben und unten weiterführen könnte. Es geht hier um die
Messung bzw. Bestimmung (und irgendwann auch Regelung) des
CL-Gehalts in einem Schwimmbad. Nunächst mal nur in meinem und
wenn’s klappt, dann evtl auch im Freundeskreis

Ist ja alles gut!

Erstmal meine ich keine Extrapolation (mit der man IMMER, IMMER super aufpassen muss! - egal wie), sondern schon die Interpolation. Ich gehe also davon aus, dass du schon einen später interessierenden Bereich gemessen hast.

Dann stellt sich die Frage, wie genau du später anhand der Spannungsmessung die Cl-Konz bestimmen können musst. zB. Ist eine Abweichung von 0.1 mg/ml irgendwie relevant, oder ist sogar schon 0.01 mg/ml mehr oder weniger entscheidend? Und wie genau kannst du die Spannung messen (s. angegebener Messfehler für das Gerät) -> das legt dir ja auch schonmal eine erreichbare höchste Genauigkeit vor.

Danach muss man dann überlegen, ob die Wahl des Modells (also der Funktion) zu einer Änderung der Vorhersagen führt, die eben relevant ist. Nehmen wir an, das exponentielle und dein kubisches Modell führen zu relevanten abweichungen. Da du eine logische Begründung für ein exponentielles Modell hast, stellt sich dann die Frage, warum das „richtige“ Modell weniger nahe an den Messwerten liegt. Nun kann es sein, dass das Modell doch nicht so richtig ist, weil es weitere Effekte gibt, die du genau mißt, die aber vom Modellzusammenhang nicht berücksichtigt werden. Oder es kann sein, dein Messgerät hat ein Problem oder bei deinem Aufbau gibvt es eine Besonderheit. Diese möglichen, „besonderen“ Umstände machen deine Messreihe zu einer „besonderen“ Messreihe, die dann zu Ergebnissen führt, die bei anderen, mit wieder anderen „besonderen“ Umständen genau NICHT gut funktionieren. Die Anpassung (fit) des „korrekten“ Modells an deine Daten zeigt dann eine größere Abweichung zu deinen Daten, aber in diesen Abweichungen steckt eine Unsicherheit, und diese unsicherheit sagt dir, wie genau die Vorhersagen sind - eben auch bei anderen Aquarien, an anderen Tagen von anderen Leuten mit anderen Geräten gemessen. Und es ist besser, wenn man sagt: Für eine Spannung von 700 mV liegt der Cl-Gehalt bei 1,0 plusminus 0.05 mg/ml (und hat recht), als wenn man sagt, er liegt bei 1,012 plusminus 0.00018 (und liegt daneben).

In deinem Fall ist IMHO sowieso alles vernachlässigbar, daher solltest du die Bälle Flach und das Modell einfach halten. Und wenn du weißt, dass es ein exp.-Modell ist, dann nimm’s halt.

Hast Du jetzt damit gemeint, das die Excel Funktion eben
vielleicht nur in diesem kleinen Bereich annähernd richtig ist
und nach oben hin deutlich ungenauer wird (wird sie ja auch)?

Nochmal: Extrapolation ist IMMER problematisch, Intrapolation ist - wenn man’s richtig macht - unproblematisch. Man sollte immer eine Fehlerbetrachtung machen (wie unsicher sind meine Vorhersagen), Stichwort „Konfidenzintervall“.

…musst ich erst mal wieder googeln, was das kubische Glied
ist *g*.

Sorry. Das ist das mit dem „hoch 3“.

VG
Jochen

[Jo1_a88223]

Kann mir evtl. noch jemand sagen wie man diese Werte, die
Excel da „anbietet“, rechnerisch ermitteln kann… oder geht
das leichter/nur über probieren?

Für Polynome geht das in Excel mit der Funktion RGP. Das ist aber kompliziert, weil man neben den x’s die x²’s und die x³’s erstmal ausrechnen muss und der RGP-Funktion mit übergeben muss.

Für die Exponentialfunktion geht das in Excel mit RKP.

Beides sind Matrixformeln. Ist gewöhnungsbedürftig.

Eine weitere Möglichkeit wäre, ein paar Zellen zu haben, in denen man mal Parameter-Schätzwerte reinschreibt und die dann nutzt, um für die x-Werte die entsprechenden Vorhersagewerte zu berechnen. Dann rechnet man die Differenzen von Vorhersage und gemessenen y-Werten aus, quadiert diese Differenzen und summiert sie. Diese Summe (die „Summe der Abweichungsquadrate“) soll minimiert werden, unter Veränderung der Parameterwerte. Sowas kann man in Excel mit dem Solver machen. Dieses Verfahren ist eine Suche von ersten Schätzwert aus. Es kann passieren, das diese Suche ein falsches Ergebnis liefert oder ganz ins Leere läuft. Ergebnisse des Solvers also immer erst nochmal prüfen (was du ja sowieso machst). Wenn der Solver Müll macht, dann mal andere Startwerte probieren und/oder an den Schrauben vom Solver drehen.

Ein Problem bleibt in Excel immer noch die Bestimmung der Konfidenzintervalle!

VG
Jochen