Hallo,
möchte die Fläche einer eher kurvenreichen Grünfläche berechnen.(Kreis mit etlichen Kurven und Dellen)
Ich teile mir diese Fläche in vier Quadranten ein und schreibe die x-y Werte in eine Wertetabelle.
So und jetzt möchte ich die dazugehörige Funktion (zumindest im ersten Quadranten) ermitteln.
Wie muss ich vorgehen?
MfG
Karl
Hallo Karl.
möchte die Fläche einer eher kurvenreichen Grünfläche
berechnen.(Kreis mit etlichen Kurven und Dellen)
Ich teile mir diese Fläche in vier Quadranten ein und schreibe
die x-y Werte in eine Wertetabelle.
Aus Deinen Daten kannst Du die Fläche näherungsweise streifenweise errechnen. Dazu nimmst Du Dir zwei nebeneinander liegende x-Werte her. Beispiel: x1=16 und x2=18 in willkürlichen Einheiten. Dazu gehören ja auch zwei y-Werte. Beispiel: y1=20 und y2=24 in willkürlichen Einheiten. Nun gehst Du von den beiden x’sen senkrecht nach oben bis zum unteren y-Wert (im Beispiel y1=20). Das gibt Dir schon einmal ein Rechteckt der Fläche |x2-x1|*min(y1,y2) (im Beispiel beträgt die Fläche (18-16)*20=2*20=40. Die Einheit ist natürlich gleich dem Produkt der Einheiten von x und y. Auf diesen Streifen setzt Du noch ein Dreieck auf, dessen Spitze im oberen y-Wert liegt. Seine Fläche beträgt |x2-x1|*|y2-y1|/2, also im Beispiel (18-16)*(24-20)/2=2*4/2=4 Flächeneinheiten. Insgesamt hast Du also über dem x-Bereich [16;18] näherungsweise die Fläche 40+4=44 Flächeneinheiten. Wenn Du viele dicht benachbarte Werte in einer großen Tabelle hast, kannst Du mit einer gängigen Tabellenkalkulation auf diese Weise eine gute Abschätzung der Fläche bekommen.
PS. Das, was ich hier erklärt habe, findet man in der Literatur als
. Dieses und andere, im Prinzip ähnliche Verfahren w…. So und jetzt möchte ich die dazugehörige Funktion …und. Mir erscheinen diese Wiki-Artikel allerdings nur s…
Hallo Karl
möchte die Fläche einer eher kurvenreichen Grünfläche
berechnen.(Kreis mit etlichen Kurven und Dellen)
Ich teile mir diese Fläche in vier Quadranten ein und schreibe
die x-y Werte in eine Wertetabelle.
möchtest Du Dir ein Programm schreiben ?
Sollen die x/y-Werte alle Punkte der Grenzen (Umfang)der Flächen in
ausreichender Dichte beschreiben ? (erfassen)
Wenn dem so ist dann:
So und jetzt möchte ich die dazugehörige Funktion (zumindest
im ersten Quadranten) ermitteln.
dies gibt es so nicht.
Wie muss ich vorgehen?
Das geht für beliebige Flächen.
Summe [(x(n+1)-x(n))*(y(n+1)+y(n))]/2
n=fortlaufender Index
Es müßte Quadrant übergreifend funktionieren, einfach die Koordinaten
mit den Vorzeichen einsetzen.
Diese Verfahren gilt für jeweils eine geschlossene Fläche.
Gruß VIKTOR
PS.
Denk nach warum dies so ist ! Ist ganz einfach.
hi,
möchte die Fläche einer eher kurvenreichen Grünfläche
berechnen.(Kreis mit etlichen Kurven und Dellen)
Ich teile mir diese Fläche in vier Quadranten ein und schreibe
die x-y Werte in eine Wertetabelle.
So und jetzt möchte ich die dazugehörige Funktion (zumindest
im ersten Quadranten) ermitteln.
zu einer gegebenen wertetabelle gibt es nicht „die“ dazugehörige funktion, sondern unendlich viele.
du könntest versuchen, zwischen n punkte ein polynom vom grad n-1 zu legen. das geht, wenn die daten nicht gerade widersprüchich sind. aber für einen „kreis mit etlichen kurven und dellen“ lässt sich das nicht garantieren.
aber das polynom vom grad n-1 ist nicht „die“ kurve, sondern nur die in gewissem sinn „einfachste“.
hth
m.
Hallo Michael.
du könntest versuchen, zwischen n punkte ein polynom vom grad
n-1 zu legen. das geht, wenn die daten nicht gerade
widersprüchich sind. aber für einen „kreis mit etlichen kurven
und dellen“ lässt sich das nicht garantieren.
Diese Funktion wird die Daten nach Konstruktion exakt wiedergeben. Wenn aber n größer als ca. drei ist, dann wird das Polynom zwischen den Funktionswerten höchstwahrscheinlich sehr hohe Berge und sehr tiefe Täler aufweisen, also meist gar nicht zu den vorgegebenen Daten passen, siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Fe…, Abschnitt „Runges Phänomen“.
Deswegen interpoliert man eher in kleinen Abschnitten mit Polynomen von geringer Ordnung, den sogenannten splines, http://de.wikipedia.org/wiki/Spline.
aber das polynom vom grad n-1 ist nicht „die“ kurve, sondern
nur die in gewissem sinn „einfachste“.
… insbesondere in dem Sinn, dass es die rationale Funktion kleinsten Gerades ist, welche auf allen Stützstellen exakt ist.
Liebe Grüße,
The Nameless
Hallo,
Hallo,
möchte die Fläche einer eher kurvenreichen Grünfläche
berechnen.(Kreis mit etlichen Kurven und Dellen)
Ich teile mir diese Fläche in vier Quadranten ein und schreibe
die x-y Werte in eine Wertetabelle.
So und jetzt möchte ich die dazugehörige Funktion (zumindest
im ersten Quadranten) ermitteln.
Wie muss ich vorgehen?
Wenn du eine einigermaßen exakte Zeichnung bzw. Skizze dieser Grünfläche hast: Ausschneiden und wiegen!
MfG
Karl
Gruß
Daniel
Hallo,
vielen Dank für Eure Vorschläge und Antworten.
bei meiner Frage geht es mir theoretisch nur um die Gestaltung oder das bestimmen einer Funktion.
Wie ich sehe, ist das Bestimmen einer Funktion durch einen gezeichneten Graphen nicht so einfach.
Wenn ich einmal eine gültige Funktion gefunden hätte, könnte ich durch Integration die zugehörige Fläche berechnen.
Mit besten Dank,
Karl
Hallo Karl.
bei meiner Frage geht es mir theoretisch nur um die Gestaltung
oder das bestimmen einer Funktion.
Bist Du sicher? Denn weiter unten schreibst Du: „Wenn ich einmal eine gültige Funktion gefunden hätte, könnte ich durch Integration die zugehörige Fläche berechnen.“ Wenn Du die Fläche suchst, dann ist die interpolierende Funktion kein guter Weg. Da die einzigen verlässlichen Angaben Deine Datenpunkte sind, solltest Du diese nutzen, um die Fläche durch numerische Integration zu lösen. Aber das habe ich ja gestern schon geschrieben.
Wenn Du aber tatsächlich eine Funktion benötigst, dann empfehle ich Dir noch einmal die Interpolation durch Splines, http://de.wikipedia.org/wiki/Spline. Eine genauere Erklärung findest Du auf der dort verlinkten Seite von Arndt Brünner, http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline….
Wie ich sehe, ist das Bestimmen einer Funktion durch einen
gezeichneten Graphen nicht so einfach.
Stimmt! Aber das ist wieder ein anderes Problem. Bislang hatten wir einen Satz von Messdaten als Angabe. Nun kommst Du mit einem gezeichneten Graphen um die Ecke… 
Was haben wir denn genau gegeben?
Wenn ich einmal eine gültige Funktion gefunden hätte, könnte
ich durch Integration die zugehörige Fläche berechnen.
Ja, klar könntest Du, aber die Funktion ist ja abseits der vorgegebenen Datenpunkte nur geraten und liefert von daher auch nur scheinbar ein exaktes Ergebnis.
Z. B. wird das von Michael vorgeschlagene Polynom hundertsten Grades auf 101 Datenpunkten exakt sein, dazwischen aber die wildesten Berge und Täler produzieren.
Liebe Grüße,
The Nameless