Hi,
Ich wollte mal fragen, ob es eine Art Rezept gibt, wie man bei der Entwicklung von Potenzreihen einer Funktion vorgeht.
Ich mein, wenn ich ein Taylorpolynom entwickeln soll um einen bestimmen Entwicklungspunkt ist das kein Problem. Aber wenn es heißt: Entwickeln sie die Funktion f(x) in eine Potenzreihe der Form SUMME a*x^k hörts auf bei mir^^. Hat da jemand einen Vorschlag?
Danke für die Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
moin;
hmm, was du beschreibst, ist ein Taylorpolynom.
Die Potenzreihe der Form
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k
ist nichts Anderes als die Taylorreihe um den Punkt x0=0 (da du ja immer Potenzen von x-x0 in der Summe hast).
Die Taylorapproximation um den Punkt x0=0 ergibt sich bekanntermaßen aus
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
Um die allgemeine Gleichung für die ak’s (=f(k)(0)/k!) zu bekommen, kannst du dir die ersten Glieder des Taylorpolynoms anschauen. Im Allgemeinen sieht man ein bestimmtes Muster, unter Umständen auch in Verbindung mit den verschiedenen Faktoren, die beim Ableiten dazukommen.
mfG
Danke für die Antwort, hab mich wohl falsch ausgedrückt im ersten Post. Bisher bekannt war mir nur, dass ich ein Taylorpolynom, sagen wir, dritten Grades berechne. Mir ist nicht klar, wie ich von f(x) „direkt“ auf die Potenzreihe komm. Ist es sinnvoll z.B. ein Taylorpolynm bis zur dritten Ableitung zu bestimmen und dann aus diesem Muster die Potenzreihe zu entwickeln.
moin;
den Term der Taylorapproximation
\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
kann man sich auch recht einfach herleiten - unser Professor hat das recht schön gemacht.
Gehen wir bis zur unbekannten, aber festen Potenz n, dann musst du deine Funktion folgendermaßen darstellen:
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0
An der Entwicklungsstelle 0 also:
a0=f(0)
Kennen wir eine der Unbekannten. Um an die anderen heranzukommen, leiten wir beide Seiten der Gleichung ab:
f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+2a2x+a1
für x=0 also äquivalent: a1=f’(0)
Jetzt kommt der interessante Teil: weiter ableiten, damit sind wir bei:
f’’(x)=n(n-1)anxn-2+(n-1)(n-2)an-1xn-3+…+2a2
Bei x=0 sind wir also bei f’’(0)=2a2, oder auch a2=f’’(0)/2.
Äquivalent kann man weiterverfahren, es sollte aber recht schnell klar werden, dass man immer bei ak=fk(0)/k! landet.
Ähnlich könnte man sich auch die Formeln für die anderen (und sogar beliebige) Entwicklungsstellen herleiten.
mfG
Hallo, das hängt ganz davon ab, wie f aussieht. Im Allgemeinen wird es eine gewisse Bildungsvorschrift geben, wie die Ableitungen aussehen.
Je nach deinem Studiengang reicht es diese zu erraten (durch das Ausrechnen der ersten paar) oder du musst es danach auch noch beweisen (mit vollständiger Induktion).
Gruß
Granini