Ganzrationale Funktion Änderungsrate

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ich hätte eine Frage…wie geht das?? =):

Gegeben ist die Funktion mit: f(t)=58e^-0,07t +22, wobei f(t) die Temperatur angibt und t die Zeit in Minuten.

Berechnen Sie nach welcher Zeit der Kaffee die Temperatur von 58°C erreicht hat…

–> Ich setze für f(t) 58 ein:
58=58e^-0,07t +22

…und dann??

Danke

#2

… auf beiden Seiten -22
dann ist 36=58e^-0,07t
… auf beiden Seiten :58
dann ist 18/29=e^-0,07t
… auf beiden Seiten ln
dann ist ln(18/29)=-0,07t
… auf beiden Seiten :-0,07
dann ist ln(18/29):-0,07=t
und damit 6,8132 = t

#3

Hi fantomas,
Hier muss man ausnutzen, dass ln(e^t) = t ist.
Das heißt, um an t heranzukommen muss man einfach die Umkehrfunktion von e anwenden - also ln - der logarithmus naturalis. (ln findest du auf dem Taschenrechner). Vorher brauchst du bloß die Gleichung umstellen, sodass e^kram alleine auf einer Seite steht.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

#4

Lieber Fantomas

„Und dann“ kommt eine kleine Reihe von Umformungen.

  1. Ihr Ansatz ist richtig.
    58=58*e^(-0,07*t)+22
  2. Ziehe auf beiden Seiten 22 ab.
    46=58*e^(-0,07*t)
  3. Teile auf beide Seiten durch 58.
    46/58=23/29=e^(-0,07*t)
  4. Berechne auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus.
    ln(23/29)=-0,07*t
  5. Teile auf beiden Seiten durch -0,07
    t=-ln(23/29)/0,07
    Fertig! t ist etwa 3,31 Minuten.

Schauen Sie sich mal die e-Funktion und ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus an. Beides ist der Schlüssel zur Lösung dieser Aufgabe.

Mit freundlichen Grüßen

Thomas Klingbeil

#5

Dann ziehst Du auf beiden Seiten 22 ab. Dann teilst Du beide Seiten durch 58. Dann nimmst Du den ln von beiden Seiten. Und zum Schluss teilst Du beide Seiten durch -0,07. Übrig bleibt t. :smile:

#6

Hallo,

also der Anfang ist richtig. Nun müssen folgende Schritte gemacht werden:

  1. Auf beiden Seiten -22
  2. Auf beiden Seiten durch 58 dividieren
  3. Auf beiden Seiten Logarithmus anwenden (gehe davon aus, dass e^(-0,07t) gemeint ist)
  4. Auf beiden Seiten durch (-0,07) dividieren
    -> und schon steht t alleine da

Viele Grüße
Anja

#7

Hallo,

es wäre hilfreich/notwendig, wenn Du Klammern gesetzt hättest!
Ich gehe einmal davon aus, Deine Aufgabe lautet

58 = 58 * e^(-0,07t) + 22

[und nicht 58*e^(-0,07t + 22) oder 58*e^(-0,07)*t + 22 …]

Dann ist doch

(58-22) = 58 * exp(-0,07t)

und

36/58 = exp(-0,07t)

und

-0,07t = ln(36/58)

und

t = -ln(36/58) / 0,07 = …

Schöne Grüße,

Manfred

P.S. Mit ganzrationalen Funktionen hat das nichts zu tun.

#8

dann müssen die 22 auf die Gleichung nach t aufgelöst werden.

Erster Schritt die 22 subtrahieren.

36=58e^-0,07t

Nun durch 58 dividieren um den E-Term zu isolieren.

18/29=e^-0,07t

Zuletzt noch den natürlichen Logarithmus nehmen
und t auf 1 erweitern.

ln(18/29)=-0,07t
14,29ln(18/29)=t
Das Ergebnis wäre damit 6,81=t.

#9

a=Exp(bt)+c
a-c=Exp(bt)
Exp(bt)=(a-c)
bt=Ln(a-c)

t= (Ln(a-c))/b

Bedingungen sollen erfüllt werden:
a>c> -273,15° C.;

wenn ba>c> -273,15° C.