Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!!
Ich hätte da eine Frage zu folgender Aufgabe und würde mich echt freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
Die Aufgabenstellung ist folgende: Finden sie jeweils alle Werte von x, für die die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) und mit Df=R den Wert a annimmt.

Mein Problem ist, dass ich die Aufgabenstellung nicht verstehe, daher wäre es echt super, wenn mir jemand mind. eine Aufgabe vorrechnen könnte! Ich würde nicht fragen, wenn es nicht wirklich wichtig wäre!

a) f(x)= x³ - x ² - 2x + 3; a=1
b) f(x)= x³ - x ² - 2x ; a=40
c) f(x)= x^4 - 6x³ + x - 10 ; a=-4
d) f(x)= 5x^4 + x³ - 5x ² - x; a=0

Bitte, bitte helft mir!!!
Vielen Dank!!!
Alles Liebe,
Crixi

#2

Hallo Crixi,

vorab, Df =R bedeutet alle reellen Zahlen, zum beispiel Wurzel aus 2 , pi, eben alle Zahlen, die nicht durch einen Bruch darstellbar sind.

Zu den Aufgaben:
Gesucht is x, sodass f(x) =a gilt,
für a) gilt demnach
a = 1 = x^3 - x^2 -2x + 3 = f(x)
bei einem Polynom vom Grad 3 (höchster Exponent für x)
ist es am einfachsten die üblichen Werte
x=-2,-1,0,1,2 auszurechnen und das Ergebnis zu überprüfen.
Hier gilt für x=1 z.B:
f(1) = 1 - 1-2*1 + 3 = 1 = a
Also ist ein Wert für die f(x)=a gilt x=1.
Mit Hilfe der Polynomdivision kommt man auf ein
Polynom vom Grad 2, wo man die PQ-Formel anwednen
kann:
f(x) -a = 0, also x^3-x^2-2x + 2

Polynomdivision:
x^3 -x^2 -2x +2 : (x-1) = x^2 - 2

Resultat f(x) -a = (x^2 -2) * (x-1)

Egebnis: die Werte, für die f(x)=a = 1 gilt, sind
x= 1 , x= - sqrt(2) und x= +sqrt(2)

Analoges Vorgehen für die restlichen Aufgaben.

Schönen Abend noch,
Benjamin

PS: Polynomdivision und PQ_Formel ggfs. bei Wikipedia nachgucken

#3

Halo Crixi,
ich versteh auch nicht was mit Df=R gemeint ist, kann aber mal was vorrechnen: (a)

f(x)= x³ - x ² - 2x + 3 =1

Jetzt musst du umstellen, so dass links 0 steht:
x³ - x ² - 2x + 2=0

Dann musst du eine Nullstelle „erraten“, probier einfach mal für welches x die Funktion 0 wird. (ich hab mal 1 eingesetzt…)
Jetzt kommt die Polynomdivision, das erklär ich jetzt nicht wie das geht. (Du musst den Funktionstherm durch „x minus die Nullstelle“ dividieren).
(x³ - x ² - 2x + 2):frowning:x-1)=x²-2

Also ist
x³ - x ² - 2x + 2=(x-1)*(x²-2)

Dann musst du nur noch x²-2=0 setzen und ausrechnen.

Viel Erfolg und Gottes Segen beim Verstehen!
Gruß Samuel

#4

Äh ich meinte natürlich so umstellen, dass „rechts“ 0 steht :smile:

#5

Ich denke mal, dass du df/dx = R meinst, also die Ableitung. Aber wo steht denn R, denn a hast du ja angegeben. Naja, ansonsten gehst du wie folgt vor: f(x) = a einsetzen und dann stellst du zu f(x) - a = 0 um und suchst Nullstellen. Bei a) wäre z.B. x=1 so ein Punkt, dann kannst du Polynomdivision durchführen um die Nullstelle aus dem Polynom rauszukürzen und dann p-q-Formel. Schon hast du alle Stellen, wo f(x) = 1 gilt.
Bei b) wäre für f(x) - a x = 4 deine erste Nullstelle. Versuchs einfach!

#6

a) f(x)= x³ - x ² - 2x + 3; a=1

1=x³ - x ² - 2x + 3

0=x³ - x ² - 2x + 2

0=x*(x² - x - 2+ 2/x)

-2=x*(x² - x - 2)

Lsg ist x=1, kann aber die Gleichungen nicht weiter auflösen

b) f(x)= x³ - x ² - 2x ; a=40

40= x³ - x ² - 2x

40= x*(x² - x - 2)

Lsg: ist x=4, kann aber die Gleichungen nicht weiter auflösen

Breche hier ab, sorry

#7

RE:Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
alle Werte von x, für die die Funktion f > a annimmt, d.h. y=a oder f(x)=a
Bsp.:
a) f(x)= x³ - x ² - 2x + 3; a=1
1=x^3-x^2-2x+3;-1
0=x^3-x^2-2x+2;nach x auflösen; erhält man X=1, -2^0,5, 2^0,5 (^0,5= Wurzel)

#8

Hallo.

An sich ganz einfach: Du darfst nur reele Zahlen einsetzen - und herauskommen soll jeweils a.

Für a) sollst Du also rausbekkommen. Für welche x Element von R gilt die Gleichung: x3 - x2 - 2x +3 = 1

Für die Lösung hast Du verschiedene Vorgehensweisen, wie du das ganze auflösen kannst. Am besten bringst Du alles auf eine Seite gehst auf Nullstellensuche - im ersten Fall sieht x=1 ganz gut aus - danach Polynomdivision und schauen, ob es eine weitere reele Lsg. gibt. Analog die anderen Aufgaben - so würde ich zumindest vorgehen, sofern mir kein Binom ins Auge springt…

#9

Hey!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Bin bei allen Aufgaben weitergekommen, habe nur noch bei der c) Schwierigkeiten. Ich habe dort folgende Polynomdivision durchgeführt:
(x^4 - 6x³ + x - 10) : (x-6)= x³+1

Ich verstehe hier nicht, wie man weitermachen soll, um die übrigen Stellen zu finden, da man das so nicht in die Mitternachtsformel einsetzen kann…

Vielen Dank im vorraus!
Beste Grüße, Crixi

#10

Hallo Crixi,

du hast vergessen den Funktionswert a hinzu zu nehmen.

du sollst ja alle x finden für die gilt:
f(x) = a . Umgestellt ist das f(x) -a = 0

DIe Polynomdivision hilft dir weiter, wenn du Nullstellen suchst, was bei f(x) -a = 0 der Fall ist.

Daher müsstet du bei allen Aufgaben (f(x)-a):frowning:x-Nullstelle) rechnen

Bei c) ist das dann
x^4 - 6x^3 + x - 10 -(-4)
= x^4 - 6x^3 + x - 6

eine Der Nullstellen hast du zufällig schon berechnet,
denn f( 6 ) - (-4) = 0 .

Also
(x^4 - 6x^3 +x - 6) : (x-6) = x^3 + 1

Zu der Mitternachtsformel fehlt noch etwas, noch eine Polynomdivision. eine weitere Nullstelle ist x=-1
Demnach
(x^3 +1):frowning: x - (-1) ) = x^2 -x + 1
-(x^3 + x^2)
-x^2
-(-x^2 - x)
x +1

da jetzt eine quadratische Funktion übrig bleibt, kann die Mitternachtsformel angewendet werden.
Allerdings werden dabei zwei imaginäre Zahlen zum vorschein kommen (falls ihr die schon hattet - eine Wurzel aus einer negativen Zahl)

Ende vom Lied:
Für c) folgen die Stellen x=6 und x=-1
(und zwei imaginäre Zahlen :smile: )

Hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen. Schönen Abend noch,
Benjamin

#11

Super! Vielen Dank! Du bist mein Retter! haha
Ich hoffe es stört dich nicht, wenn ich dir eine allerletzte Frage stelle, wobei ich es natürlich verstehe wenn du keine Lust mehr hast :smiley:

Ich habe da nämlich noch ein Problem bei folgender Aufgabe: f(x)=5x^4+x³-5x²-x;a=0

Ich bin durch Polynomdivision auf folgendes Ergebnis gekommen: (5x^4+x³-5x²-x) : (x-1)=5x³+6x²+x

Wie bei der vorigen Aufgabe muss man hier wahrscheinlich nochmal die Polynomdivision anwenden, doch ich finde die Nullstelle nicht, die ich dafür brauche…

Ich hoffe ich kann mich für deine Hilfe irgendwann mal revanchieren!
LG

#12

Hi nochmal :wink:

ok, du hast jetzt ein weiteres Polynom vom Grad 3,

was ist denn mit dem Wert x=0, d.h.

5x³+6x²+x : (x -0) = 5x^2 + 6x + 1 ???

alternativ kann man auch direkt das x ausklammern
5x^4+x³-5x²-x = ( 5x^3 + x^2 - 5x - 1) * x

Und das mit dem revanchieren geht schon in Ordnung ^^
irgendwofür muss ja mein 8 jähriges Mathestudium (kein Lehramt) gut sein … :smile:

Falls dich doch noch was sört bzw. dir Porbleme bereitet einfach melden (ne Antwort kann aber zwischendurch etwas dauern (max 1/2 Tag).

Viel Spass noch beim rechnen,
Benjamin

#13

Heey :wink:

Tausend Dank!
Woow! Ein 8-jähriges Mathestudium! Ich wünschte das hätte ich auch! haha, aber dazu wird es wohl nie kommen :smiley:

Darf ich fragen was du beruflich machst? :smile:
LG
P.s.: Es ist echt lieb von dir, dass du anderen in Mathe hilfst!!!

#14

Moin moin,

ich habe mein Nebenfach (Informatik) zum Beruf gemacht.
Softwareentwicklung, das einfachste Beispiel ist ein Reflektor, wie es bei Autoscheinwerfern (vorne) der Fall ist. Das 3D-Objekt am Rechner erstellen, eine Lichtquelle mit hinzupacken ( z.B. eine LED) und dann schauen, wie der Reflektor das Licht auf die Straße projiziert, wo geht das meiste Licht hin, welche Stellen auf der Straße sind besonders gut ausgeleuchtet, etc.

Alles weitere wird zu kompliziert ^^, aber sämtliche Berechnungen beruhen auf Mathe

Und anderen Mathe beibringen habe ich an der Uni schon gemacht, Maschinenbauern, Wirtschaftswissenschaftlern, Informatiker, Lehrämter, …
ist also nicht viel anders als in diesem Forum ^^

Einen schönen Donnerstag noch,
Benjamin