GanzrationaleFunktionen mit zu wenig Eigenschaften

Wissenschaft Mathematik
#1

Hey Leute, ich schreibe am Freitag meine Vorabiklausur in Mathe und weiß auf jeden Fall, was für ein Aufgabentyp vorkommen wird, kann aber leider nicht so viel damit anfangen.

Man soll z.B. eine ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen, hat aber nur 3 Eigenschaften gegeben:
Nullstellen bei -3 und 5
geht durch P(1|1)
f(x) im Intervall [-3;5]≥0

Also ganz normal erst eine allgemeine Funktion 3.Grades definieren:
f(x)= ax³+bx²+cx+d

Dann alles auflösen in Abhängigkeit von d oder so:
(16d-15)x³/240 - (8d-5)x²/40) - (208d-225)x/240 + d

Dann die Nullstellen dieser Funktion bestimmen:
-3 und 5 logischerweise und dann noch
16d/(16d-15)

Aber was sagt mir das jetzt?

#2

Um vier Parameter a, b, c und d zu bestimmen brauchst Du 4 Bedingungen,
Die letzte (dass f(x) zwischen den Nullstellen positive Werte hat) ist nix Neues, weil es schon in der Bedingung „geht durch P(1|1)“ steckt.
Poste doch mal die ganze Aufgabe im Original.

#3

Aber die dritte Nullstelle könnte ja auch zwischen -3 und 5 sein und somit wäre die Bedingung nicht mehr erfüllt.
Es gibt die Aufgabe leider nicht im Original, da unser Lehrer die Aufgabe nur so „aus dem Bauch herraus“ gestellt hat und dazu meinte, dass wir sowas können müssen. 

Wenn man jetzt aber die dritte Nullstelle [16d/(16d-15)] jeweils einmal mit ≤5 und ≥-3 gleichsetzt und nach d auflößt, erhält man für d:

  1. d15/16
    → das müsste doch bedeuten, dass man d in einem Intervall von [45/64;75/64] ohne 15/16 eingrenzen kann. Ist das vielleicht das Gesuchte? Denn dann wären ja auch alle Bedingungen rein theoretisch erfüllt.

Um vier Parameter a, b, c und d zu bestimmen brauchst Du 4
Bedingungen,
Die letzte (dass f(x) zwischen den Nullstellen positive Werte
hat) ist nix Neues, weil es schon in der Bedingung „geht durch
P(1|1)“ steckt.
Poste doch mal die ganze Aufgabe im Original.

#4

Aber die dritte Nullstelle könnte ja auch zwischen -3 und 5
sein und somit wäre die Bedingung nicht mehr erfüllt.

Da hast Du Recht, das habe ich übersehen. Ich habe trotzdem keine Idee, wie man die Bedingung f(x)>=0 im Bereich zwischen den Nullstellen verwenden soll.

#5

hmm, d verschiebt doch die Funktion in y-Richtung, damit kannst du doch beeinflussen, welcher Teil positiv ist, das war ja Teil der Bedingungen.
Eventuell ist die Bedingung auch für verschiedene Werte von d erfüllt, nicht nur einen bestimmten Wert…

#6

da im Intervall (-3;5) f(x)≥0, existiert an der Stelle x=1 ein Hochpunkt. Also, 4. Bedingung lautet f`(1)=0

#7

Sorry dazu kann ich dir gar nicht sagen, ausser das du dann natürlich wieder ein polynom hast, welches einfacher ist als das erste… soviel zur Theorie. In der Praxis mit einer Anwendung könnte dir sowas scho helfen, da du dann ja weniger veränderliche hast als beim allgemeinen polynom 3. grades… aber was sowas in einer klausur zu suchen hat… keine ahnung

du hast übrigens noch ne 4. eigenschaft, nämlich das die funktion in diesem betrachteten bereich auf jedenfall größer/gleich null ist.

#8

Lieber Martin; mach dich mal über ====> Lagrangepolynome schlau:

L ( x ; - 3 , 5 , x0 ) = ( x + 3 ) ( x - 5 ) ( x - x0 ) ( 1 )

Du hast halt diesen freien Parameter x0. Und durch Wahl eines geeigneten ====> Leitkoeffizienten k = k ( x0 ) kannst du natürlich immer erreichen, dass L durch P geht.
Hinweis: x0 darf nicht Element der Menge M sein

M := { - 3 ; 1 ; 5 } ( 2 )

Warum?

#9

Weil (1/1) zur Funktion gehört, ist a+b+c+d=1

Weil Nullstelle bei(-3/0) ist -27a+9b-3c+d=0 und ebenso für (5/0) ist 125a+25b+5c+d=0.Extremwert bei 1/1 bedeutet dort 1. Ableitung =0. Einsetzen ergibt System von 4 Gleichungen mit 4 Variablen. Das kann man ausrechnen.

#10

Die fehlende 4. Information ist versteckt :wink:
Dadurch, dass bei -3 und 5 Nullstellen liegen und die Funktion im Bereich dazwischen durchgehend positiv ist, liegt genau zwischen -3 und 5(also bei x=1) das Maximum.
Damit hast du f’(1) = 0 mit f’ = 3ax²+2bx+c

Mit der letzten Gleichung kannst du dann alle 4 Variablen auflösen.

#11

Hallo Martin,
erstmal Glückwunsch: Es stimmt, dass die dritte Nullstelle
n = 16d/(16d-15) lautet.
Diese Nullstelle darf nicht zwischen -3 und 5 liegen, sonst könnte f nicht durchweg positiv in diesem Intervall sein.
Der Abstand von n zu 1 (= Mittelwert von -3 und 5) muss also mindestens 4 betragen. das gibt die Bedingung:
(n-1)²>= 4² (größer oder gleich).
Ersetzen von n durch obigen Ausdruck führt bei mir jedenfalls zur Bedingung:
d=0,703125
(wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe, was ich aus Zeitgründen nicht mehr nachkontrollieren konnte)
Ich hoffe, das hilft ein wenig.
Viel Glück bei der Klausur.
Liebe Grüße, J. Huber

#12

Hallo,
danke erst einmal für die ausführliche Antwort!
Ich habe auch weiter gerechnet und bin auf das gleiche Intervall für d gekommen. Nur mit ausnahme von d ungleich 15/16, da sonst der Faktor vor dem x³ 0 wäre und wir somit keine ganzrationale Funktion 3. Grades mehr haben.

Lg, Martin

#13

Hi, tut mir leid, dass ich jetzt erst schreibe, habe eben deine anfrage erst entdeckt. Nun sitzt du sicher gerade in der klausur und meine hilfe kommt zu spät. bin also jetzt in gedanken bei dir, vieleicht hilfts trotzdem noch.

kann leider überhaupt nicht nachvollziehen, wie du von der allgemeinen form deiner ganzrationalen funktion dritten grades (die ist vollkommen richtig) auf deine funktion kommst, die du „in abhängigkeit von d oder so“ aufgelöst haben willst.

ich zeige jetzt einen möglichen weg auf, wie man sich der aufgabe nähern kann.

Grobplan:
die gegeben drei eigenschaften setzt man in beziehung zu der allgemeinen form.

also z.b. nullstellen bei -3 und 5

definition nullstelle: die stelle, an der der funktionswert den Wert o annnimmt, nennt man nullstelle.

also, setzt man x=-3 ein erhält man für f(x)=o
genauso für x=5 ist ebenfalls f(x)=o

diese infomationen in die allgemeine gleichung einsetzen:

f(-3)=a(-3)³+b(-3)²+c(-3)+d=o
f(-3)= -27a+9b-3c+d=0

f(5)=a(5)³+b(5)²+c(5)+d=0
f(5)=125a+25b+5c+d=0

Nun hast du ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit vier variablen als zwischenlösung erhalten:

-27a+9b-3c+d=0
125a+25b+5c+d=0

eindeutig lösen, also a, b, c, und d bestimmen, kann man es erst, wenn man vier gleichungen hat, so sieht man, dass man die anderen beiden eigenschaften ebenfallls benutzen muss.

Punkt P (1/1) gehört zur funktion:
was bedeutet das? wenn man für x=1 einsetzt erhält man für f(x)=1
also f(1)= a(1)³+b(1)²+c(1)+d=1
f(1)=a+b+c+d=1

dritte Gleichung: a+b+c+d=1

bis hierhin ging es doch eigentlich!

nun die dritte eigenschaft:
f(x)≥0 für x Element aus dem Intervall [-3;5]

die grenzen x=-3 und x=5 sind ja unsere nullstellen
dazwischen sind die werte f(x)>0
da hat man nun eine ganze menge schöner ungleichunen, z.B. f(2)>0. das hilft nicht viel weiter, wir brauchen eine gleichung.

nun kann man darüber nachdenken, dass in diesem abschnitt, wenn man sich den graph anschaut, die funktion ein maximum haben muss, (da ja erst der funktionswert null ist, dann sind die werte größer null und dann wieder gleich null, also sozusagen ein berg)

(bis hierhin war alles, was benutzt wurde, allgemeines wissen, was man schon bei der behandlung von linearen funktionen kennenlernt, nur das der term eben „ein wenig“ komplizierter aussieht als (mx+b), aber dafür gibt es eigentlich das „training“ termrechnung.)

nun braucht man wohl zum ersten mal echtes abiturwissen, da man die Stelle, an der die funktion ein maximumal besitzt, bestimmt, indem man die erste ableitung betrachtet

(ich muss jetzt selbst in den unterricht, vielleicht gehts jetzt so weiter, bei mir ist das jetzt doch etwas her und meine kurze pause ist vorbei, zumindest muss man eine vierte gleichung finden, in der nur noch die variablen a,b,c und d vorkommen dürfen)

???also die erste ableitung von f(x)=ax³+bx²+cx+d bestimmen:

dies ergibt f´(x)=3ax²+2bx+c