Gauß Algorithmus

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

4x + 2y - 2z = 8
-2x - y + 8z = 3

Konstruieren Sie eine 3. Gleichung, so dass das dann entstehende Gleichungssystem:

a.) Definitiv nur eine einzige Lösung besitzt (diese muss sich aber von der Lösung b.) unterscheiden!)
b.) Das Gleichungssystem nur die Lösung x=2, y=1 und z=1 besitzt.
c.) Das Gleichungssystem neben der Lösung x=2, y=1 und z=1 noch weitere Lösungen besitzt
d.) Das Gleichungssystem überhaupt keine Lösung besitzt

Mir ist bekannt, wie man ein Gleichungssystem nach dem Gauß-Algorithmus löst. Zudem weiß ich, dass es keine Lösung gibt, wenn die letzte Zeile 0 = a (beliebige Zahl) ist und dass es unendlich viele Lösungen gibt, wenn die letzte Zeile 0 = 0 ist.Durch ausprobieren stoße ich allerdings immer wieder auf Konflikte, sodass ich davon ausgehe, dass es Verfahren und Methoden gibt, um gezielter an die Lösung heranzukommen.Hierfür bitte ich um Hilfestellungen und Tipps jeglicher Art.

Vielen Dank im Voraus!

Schönen Gruß!

#2

Hallo,

warum hast du die Frage denn 4 mal gestellt?
Ich würde ja damit anfangen, das Gleichungssystem so wie es ist zu lösen. Dann siehst du, dass z immer 1 sein muss. Übrig bleibt eine Gleichung, die x und y in Beziehung setzt. Also eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen.
Da noch eine Gleichung dazuzupacken, sodass insgesamt unendlich viele Lösungen entstehen, ist eigentlich trivial. Und du hast sie auch schon genannt. Die Gleichung 0=0. Um keine Lösung zu erzeugen tut es bspw. die Gleichung 0=1. Und für die beiden anderen Fälle kommst du sicher auf gute Beispiele. In der Gleichung müssen ja nicht einmal alle Variablen verwendet werden. Für b) würde ja die Gleichung x=2 reichen. Dann ergibt sich y automatisch.

Nico

#3

Hallo,

… dass es keine Lösung gibt, wenn die letzte Zeile 0 = a (beliebige Zahl) ist

Achtung, Falle: „Beliebig“ schließt auch a = 0 ein, was sicher nicht in Deinem Sinne ist. Bei solchen Konstruktionen sollte man generell immer vorsichtig sein.
.

und dass es unendlich viele Lösungen gibt, wenn die letzte Zeile 0 = 0 ist.

Und hier könnte einem (sehr pingeligen) Korrektor missfallen, dass Du eine Konstante auf der linken Seite der Gleichung stehen hast, wo eigentlich keine hingehört. Besser: 0x + 0y + 0z = 0, auch wenn’s komisch aussieht. Das ist die (einzige) lineare Gleichung, die x, y und z formal enthält, diese Variablen aber in keiner Weise einschränkt. Damit bist Du auf der sicheren Seite.

Es geht übrigens auch problemlos ohne irgendwelche „0=0“- und „0=1“-Hudeleien, z. B. einfach so:
(a) x = 3   (b) x = 2   © z = 1  (d) z = 0

(Dass die beiden gegebenen Gleichungen z bereits auf 1 festlegen, hast Du ja schon erfahren.)

Gruß
Martin

#4

Folgende Aufgabe:

4x + 2y - 2z = 8
-2x - y + 8z = 3

Konstruieren Sie eine 3. Gleichung, so dass das dann
entstehende Gleichungssystem:

a.) Definitiv nur eine einzige Lösung besitzt (diese muss sich
aber von der Lösung b.) unterscheiden!)

Hier kann man sich eine fast beliebige dritte Gleichung ausdenken. Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine der anderen Möglöichkeiten trifft ist gering. Aber trotzdem ausrechnen für den Fall, dass man zufällig doch eine solche Gleichung getroffen hat.

b.) Das Gleichungssystem nur die Lösung x=2, y=1 und z=1
besitzt.

etwas ausdenken
x+y+z=???
einsetzen
x+y+z=4

4x + 2y - 2z = 8
-2x - y + 8z = 3
x+y+z=4

c.) Das Gleichungssystem neben der Lösung x=2, y=1 und z=1
noch weitere Lösungen besitzt

Einfach eine dritte Gleichung ausdenken die linear abhängig von ersten beiden ist.
Dadurch fällt beim lösen eine Gleichung wieder weg und das Gleichungssystem bleibt unterdefiniert.
Ich addiere die beiden einfach zu einer dritten.

4x + 2y - 2z = 8
-2x - y + 8z = 3
2x+y+6z=11

d.) Das Gleichungssystem überhaupt keine Lösung besitzt

Also muss es einen Widerspruch geben

4x + 2y - 2z = 8
-2x - y + 8z = 3
-2x - y + 8z = 4

#5

Hallo,

Hier kann man sich eine fast beliebige dritte Gleichung ausdenken. Die Wahrscheinlichkeit,
dass man eine der anderen Möglöichkeiten trifft ist gering.

und sie ist noch geringer, wenn man sich erstmal garnichts ausdenkt, sondern sich stattdessen das LGS nur mit scharfem Blick ansieht. Optimalerweise fällt einem dann auf, dass die erste Gleichung durch 2 teilbar ist, und es nach der entsprechenden Division sehr sinnvoll ist, die erste zur zweiten Gleichung zu addieren, weil das die zweite Gleichung drastisch vereinfacht, nämlich (nach Division durch 7) zu z = 1. Danach weiß man, dass das ursprüngliche LGS äquivalent ist zu diesem:

2x + y = 5
z = 1

Nach dem Gewinn dieser Erkenntnis lassen sich für alle Fragen in der Aufgabenstellung korrekte Antworten aus dem Stegreif geben, ohne die kleinste Zusatzrechnung.

Aber trotzdem ausrechnen für den Fall, dass man zufällig doch eine solche Gleichung
getroffen hat.

Ja, das ist die gerechte Strafe für all jene, die lieber gleich drauflosrechnen, anstatt sich solche Gleichungen erstmal genau anzuschauen, um etwaige Auffälligkeiten zu entdecken, die einen abgekürzten Lösungsweg ermöglichen. Ist immer dasselbe.

Gruß
Martin

#6

Vielen Dank Safrael, sehr hilfreiche und nachvollziehbare Antwort, mit der sämtliche Probleme geklärt wurden. =)