Gaußsche Fehlerfortpflanzung

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Leute,

ich hänge bei der Berechnung des Fehlers einer Exponentialfunktion, bei welcher sowohl die Basis als auch der Exponent fehlerbehaftete Meßgrößen sind. Die Fehler sind als Standardabweichungen (SD) abgegeben.

Sei a die eine Meßgröße mit der SD sa und b die andere mit einer SD von sb und die Funktion, deren Fehler mich interessiert, ist F = ab.

Ich weiß, daß sich die Fehler einer Funktion nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berechnen als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Produkte der differentiellen Ableitungen und den SD’s. Das Klappt gut, wenn die Funktion eine Summe oder ein Produkt ist, sogar, wenn die Funktion eine Potenzfunktion ist (also b in diesem Beispiel keinen Fehler hat). Wenn b aber auch einen Fehler hat, komme ich auf viel zu kleine Fehler für F.

Als partielle Ableitung nach a habe ich b*a(b-1), als partielle Ableitung nach b habe ich ln(b)*ab.

Jetzt meine Fragen:

Was mache ich falsch?
Wie mache ich es richtig?

Ach ja, warum mir das auffiel: Ich hab’s ausprobiert. Ich habe mir so zum Testen Reihen (ai und bi) mit je 5000 normalverteilten Zufallszahlen mit definierten Mittelwerten (a und b) und SD’s (sa und sb) ausgeben lassen, davon die Potenzen gebildet yi = aibi und die SD von yi berechnet. Da kamen eben viel größere SD’s raus als nach der Gaußschen Rechnung anhand der Werte für a, b, sa und sb rauskam. Ein Zahlenbeispiel:

a = 5; sa = 0.1
b = 2; sb = 0.05

SD von ab: nach Gauß: 1.325, gefunden: 2.27

mit sb = 0
SD von a2: nach Gauß: 1.00, gefunden: 1.00

mit sa = 0
SD von 5b: nach Gauß: 0.871, gefunden: 2.032

Wie’s aussieht, steckt der „Fehler“ wohl im Term von a…

Danke schonmal für Hilfestellungen sagt:
Jochen

#2

Hallo Jochen,

als partielle Ableitung nach b habe ich ln(b)*ab.

die partielle Ableitung nach b ist ln( a )*ab.

Vielleicht lag’s daran?

Mit freundlichem Gruß
Martin

#3

Hallo Martin,

die partielle Ableitung nach b ist ln( a )*ab.

Vielleicht lag’s daran?

Danke - war ein Tippfehler. Leider lag’s aber nicht daran. Hier (mit den auf Ehre und Gewissen korrekten Formeln) nochmal ein Beispiel mit etwas größeren SD’s:

a = 5; sa = 1
b = 2; sb = 0.5

F a<sup>b</sup> a<sup>2</sup> 5<sup>b</sup>
SD (von y<sub>i</sub>) 49.97 10.11 33.76
SD (nach Gauß) 22.45 9.96 20.12

Die Abweichung bekomme ich, wenn b fehlerbehaftet ist (sb>0).

Das hab ich in Excel berechnet. Wer mag, dem kann ich die Datei schicken.

Wieder hilflos:
Jochen

#4

Hallo Jochen!
Das Problem ist, dass die Gauss-Fehlerfortpflanzung nur für „kleine“ Fehler gilt (so klein, dass Funktion als linear betrachtet werden kann!!!). Dies ist bei deinem Beispiel (5^(2± 0,5) ) sicher nicht mehr der Fall!
Die SD kannst du aber mit Hilfe der Formel für die log-Normalverteilung ausrechnen. Wenn X normalverteilt ist, dann ist Y=exp(X) log-norm.-verteilt! Bei dir ist dann Y=5^b=exp(ln(5)*b), damit X=ln(5)*b. Entsprechend muss MW und SD von b umgerechnet werden.
Schau mal in irgend ein Statistik-Buch unter log-norm-Verteilung oder z.B. hier: http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/rt1/html/rt1h… ).

Für 5^(2±0,5) komme ich dann auf SD=33, was mit deiner Simulation übereinstimmt!

Gruss Kurt

PS: In deinen Zahlebeispielen muss nich ein Fehler sein: Wenn Du nach Gauss rechnest und beide SD’s um den Fakto 10 erhöhst, dann muss auch das Ergebnis um genau einen Faktor 10 größer werden!

#5

Hallo Kurt,

danke für den Tipp. Ich werde mich nochmal melden, wenn ich’s probiert habe.

Hoffnungsvoll:
Jochen