Gaußsches Eliminationsverfahren

[PixelK_nig]

Hilfe Community,

mein Weib macht gerade ein Fernstudium und muss heute Ihre Arbeit abgeben, weil wir morgen fuer 4 Wochen in den Urlaub fliegen.
Ich habe ihr versucht zu helfen habe aber selbst von diesem Verfahren noch nichts gehoert… kann es also nicht…
Wer koennte einem 34 jaehrigen eine Matheaufgabe loesen…
sind nur drei *jammerJammer*

Mein gott ist das peinlich… eintrag ins hausaufgabenheft… also…hier die aufgaben… das dumme: muss heute fertig sein:

Bestimmen Sie die Loesungen des Gleichungssystems:

9x+5y+4z = 21
6x+3y-5z = 7
3x-10y+6z = 35

ich danke euch ganz herzlich.

grusz

PixelKoenig

[CandIng_56ac2d]

H wie Hola.

Das GAUSSsche Eliminationsverfahren ist ein Standardverfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Es basiert auf der Idee, die einzelnen Gleichungen zu modifizieren und jeweils so miteinander zu addieren, daß schlußendlich eine Lösung für die Unbekannten gefunden werden kann.

In der Mittelstufe spricht man auch von „Additionsverfahren“.

9x + 5y + 4z = 21
6x + 3y - 5z = 7
3x - 10y + 6z = 35

(1) Multipliziere die zweite Zeile mit einer reellen Zahl genau so, daß bei Addition von Zeile 1 zu Zeile 2 die Variable ‚x‘ entfällt.
Schreibe die neue Gleichung in ein neues Gleichungssystem darunter.

(2) Multipliziere die dritte Zeile mit einer reellen Zahl genau so, daß bei Addition von Zeile 1 zu Zeile 3 die Variable ‚x‘ entfällt.
Schreibe die neue Gleichung unter die erste neue Gleichung aus Schritt (1).

(3) Multipliziere eine der beiden neuen Gleichungen geschicht genaus so mit einer reellen Zahl, daß bei Addition der Gleichungen die Variable ‚y‘ herausfällt.
Schreibe die neue Gleichung auf. Stelle sie nach ‚z‘ um und Du hast
die Lösung.

(4) Durch Einsetzen von ‚z‘ in eine der beiden Gleichungen aus dem vorherigen Schritt erhälst Du ‚y‘.

(5) Durch Einsetzen von ‚z‘ und ‚y‘ in eine der Ausgangsgleichungen erhälst Du ‚x‘.

Hinweis: Natürlich kannst Du auch bei Schritt (1) mit einer der anderen Gleichungen anfangen, oder eine andere Variable eliminieren.
Das ist mehr oder weniger freigestellt.

MfG

[CandIng_56ac2d]

Kontrolle
Zur Kontrolle.

Es kommen (wie zu erwarten war) schöne einfache, runde Ergebnisse heraus, wie bspw. x = 3, y = -2, z = 1 oder so etwas in der Art.

MfG

[Attilius]

Hilfe Community,

Hi

mein Weib macht gerade ein Fernstudium und muss heute Ihre
Arbeit abgeben, weil wir morgen fuer 4 Wochen in den Urlaub
fliegen.
Ich habe ihr versucht zu helfen habe aber selbst von diesem
Verfahren noch nichts gehoert… kann es also nicht…
Wer koennte einem 34 jaehrigen eine Matheaufgabe loesen…
sind nur drei *jammerJammer*

Mein gott ist das peinlich… eintrag ins hausaufgabenheft…
also…hier die aufgaben… das dumme: muss heute fertig sein:

Bestimmen Sie die Loesungen des Gleichungssystems:

9x+5y+4z = 21
6x+3y-5z = 7
3x-10y+6z = 35

ich danke euch ganz herzlich.

8.Klasse Gymnasium?

grusz

PixelKoenig

Beim Gauß’schen Eliminationsverfahren werden die Variablen in jeder Zeile soweit eliminiert, dass in jeder Zeile nur noch eine Variable steht.Das macht man, indem man die Zeilen so umformt, dass die Koeffizienten(hier z.B.: 9;5;4) Null ergeben.Es werden zwei Gleichungen mit geeigneten Zahlen multipliziert und sie anschließend addiert.Es müsste dann so aussehen(geht auch kürzer,man kann mehrere Schritte zusammenfassen):

9x + 5y + 4z = 21 |\*2
6x + 3y - 5z = 7 |\*(-3)
3x -10y + 6z = 35
----------------------------
9x + 5y + 4z = 21 |\*1
 y + 23z = 21 
3x -10y + 6z = 35 |\*(-3)
----------------------------
9x + 5y + 4z = 21
 y + 23z = 21 |\*(-35)
 35y - 14z =-84 |\*1
----------------------------
9x + 5y + 4z = 21
 y + 23z = 21
 -819z =-819
----------------------------
9x + 5y + 4 = 21
 y + 23 = 21
 z = 1
----------------------------
9x +(-10)+ 4 = 21
 y =-2
 z = 1
----------------------------
 x = 3
 y =-2
 z = 1

Hoffe das beschert euch einen angenehmen Urlaub.
MfG Sven

[PixelK_nig]

mjam…nun…

8.Klasse Gymnasium?

na spitze… rein in die wunde…
8. klasse… das war 1987 bei mir…

> 9x + 5y + 4z = 21 |\*2  
> 6x + 3y - 5z = 7 |\*(-3)  
> 3x -10y + 6z = 35  
> ----------------------------  
> 9x + 5y + 4z = 21 |\*1  
> y + 23z = 21  
> 3x -10y + 6z = 35 |\*(-3)

meine angetraute laesst fragen, warum aus der 9 keine 18 wird.
leite hiermit die fragezeichen weiter…

aber erstmal schoenen dank

grusz

PK

[PixelK_nig]

gruebelduebel

Es kommen (wie zu erwarten war) schöne einfache, runde
Ergebnisse heraus, wie bspw. x = 3, y = -2, z = 1 oder so
etwas in der Art.

schankedoehn…
noch gruebelt sie darueber

-)

[CandIng_56ac2d]

Notationsverfahren
H wie Hola.

Von der gezeigten Notation halte ich nicht viel, weil sie nicht wirklich übersichtlich ist.

Bequemer ist

9x + 5y + 4z = 21 (*)
6x + 3y - 5z = 7
3x - 10y + 6z = 35

2. Zeile * (- 9/6)
3. Zeile * (- 9/3)

9x + 5y + 4z = 21

• 9x - 4,5y + 7,5z = - 10,5
• 9x + 30y - 18z = -105

---

Zeile 1 + Zeile 2
Zeile 1 + Zeile 3

0,5y + 11,5z = 10,5 (**)
35y - 14z = - 84

Zeile 1 * (- 70)

• 35y - 805z = - 735
  35y - 14z = - 84

---

Zeile 1 + Zeile 2

-819z = -819

==> z = 1

z in (**) einsetzen und y bestimmen
z und y in (*) einsetzen und x bestimmen

Das sieht (handschriftlich und mit den Rechenoperationen direkt neben die Zeile geschrieben) viel schöner aus und läßt den Grundgedanken der
oberen Dreiecksmatrix nicht außen vor.

MfG

[Attilius]

8.Klasse Gymnasium?

na spitze… rein in die wunde…
8. klasse… das war 1987 bei mir…

oh…

 I. 9x + 5y + 4z = 21 |\*2 
 II. 6x + 3y - 5z = 7 |\*(-3)
III. 3x -10y + 6z = 35
----------------------------
 I'. 9x + 5y + 4z = 21 |\*1
 II'. y + 23z = 21
III'. 3x -10y + 6z = 35 |\*(-3)

I’:wird zwar mit 2 multipliziert,aber bleibt so wie I
(@CandIng:kann ja sein das, dass unübersichtlich ist, aber ich
habs so gelernt^^…is ja noch nich sooo lang bei mir her)
II’=I*2+II*(-3)
III’:bleibt so wie III(passiert ja noch nichts mit)

man könnte bei I’ auch 18x + 10y + 8z = 42 schreiben, nur müsste man dann beim nächsten Schritt III’ * (-6) rechnen, damit x wegfällt…und die Zahlen werden eventuell ziemlich hoch…

meine angetraute laesst fragen, warum aus der 9 keine 18 wird.
leite hiermit die fragezeichen weiter…

aber erstmal schoenen dank

kein problem

grusz

MfG Sven

PK

[CandIng_56ac2d]

Hinweis
H wie Hola.

> I. 9x + 5y + 4z = 21 |\*2  
> II. 6x + 3y - 5z = 7 |\*(-3)  
> III. 3x -10y + 6z = 35  
> ----------------------------  
> I'. 9x + 5y + 4z = 21 |\*1  
> II'. y + 23z = 21  
> III'. 3x -10y + 6z = 35 |\*(-3)

@CandIng:kann ja sein das, dass unübersichtlich ist, aber ich
habs so gelernt^^…is ja noch nich sooo lang bei mir her.

Das mag ja sein, dennoch sieht es bißchen komisch aus - als ob der Mathelehrer partout Verwirrung stiften will.

Was bspw. die ‚*1‘ soll, bleibt ein Rätsel.

Nur so ein paar Tips: Man versieht eigentlich nur die Gleichungen mit einem Strich, die auch modifiziert wurden. Zudem würde ich Dir empfehlen, die notwendigen Multiplikationen auf eine andere Art und Weise zu finden: Um eine Variable in zwei Gleichungen zu eliminieren, müssen ihre Koeffizienten betragsgleich aber vorzeichenunterschiedlich sein.

Jetzt stell Dir vor, die Koeffizienten sind nicht so schön einfach, oder haben bspw. kein übersichtliches kleinstes gemeinsames Vielfaches. Spätestens wenn Du das ganze dann einmal programmieren mußt, bist Du auch angeschissen.

Hier was ich meine:

(I) a11x + a12y + a13z = b1 
(II) a21x + a22y + a23z = b2 |\* (- a11/a21)
(III) a31x + a32y + a33z = b3 |\* (- a11/a31)
--------------------------------

(I) a11x + a12y + a13z = b1
(II') (-a21 \* a11/a21)x + (-a22 \* a11/a21)y + (-a23 \* a11/a21)z = b2 \* (- a11/a21)
(III') (-a31 \* a11/a31)x + (-a32 \* a11/a31)y + (-a33 \* a11/a31)z = b3 \* (- a11/a31)
------------------------------------------------------------------------------------

(I) + (II')
(I) + (III'):

(I'') ...
(II'') ...

und so weiter

MfG

[Attilius]

H wie Hola.

T wie Tach.

I. 9x + 5y + 4z = 21 |*2
II. 6x + 3y - 5z = 7 |*(-3)
III. 3x -10y + 6z = 35

I’. 9x + 5y + 4z = 21 |*1
II’. y + 23z = 21
III’. 3x -10y + 6z = 35 |*(-3)

Das mag ja sein, dennoch sieht es bißchen komisch aus - als ob
der Mathelehrer partout Verwirrung stiften will.

Was bspw. die ‚*1‘ soll, bleibt ein Rätsel.

Die *1 soll einfach nur anzeigen, dass die Zeile nicht verändert werden braucht, aber trotzdem zu(hier)III addiert wird.Klar, man kanns auch weglassen.Aber wenn man es so schreiben würde,:

 I. 9x + 5y + 4z = 21 |\*2
 II. 6x + 3y - 5z = 7 |\*(-3)
III. 3x -10y + 6z = 35 |\*(-3)

käme man vllt auf die Idee die erste Zeile trotzdem mit 2 zu multiplizieren, was natürlich ein Fehler ist.

Nur so ein paar Tips: Man versieht eigentlich nur die
Gleichungen mit einem Strich, die auch modifiziert wurden.
Zudem würde ich Dir empfehlen, die notwendigen
Multiplikationen auf eine andere Art und Weise zu finden: Um
eine Variable in zwei Gleichungen zu eliminieren, müssen ihre
Koeffizienten betragsgleich aber vorzeichenunterschiedlich
sein.

Stimmt.

Jetzt stell Dir vor, die Koeffizienten sind nicht so schön
einfach, oder haben bspw. kein übersichtliches kleinstes
gemeinsames Vielfaches. Spätestens wenn Du das ganze dann
einmal programmieren mußt, bist Du auch angeschissen.

Es gibt aber auch andere einfacher zuprogrammierende Methoden um ein solches lineares Gleichungssystem zu lösen—>Stichwort:smiley:eterminantenrechnung, is ganz einfach bei Excel zuprogrammiern.Kann ich dir mal schicken, wenn du willst.

Hier was ich meine:

(I) a11x + a12y + a13z = b1
(II) a21x + a22y + a23z = b2 |\* (- a11/a21)
(III) a31x + a32y + a33z = b3 |\* (- a11/a31)

Das ist eigentlich ziemlich klug, es so zu machen. Man spart sich einen Rechenschritt,weil man ja nur eine anstatt zwei Zeilen multipliziert.Werd ich mir merken

---

(I) a11x + a12y + a13z = b1
(II’) (-a21 * a11/a21)x + (-a22 * a11/a21)y + (-a23 *a11/a21)z = b2 :* (- a11/a21)
(III’) (-a31 * a11/a31)x + (-a32 * a11/a31)y + (-a33 *a11/a31)z = b3 :* (- a11/a31)

(I) + (II’)
(I) + (III’):

(I’’) …
(II’’) …

und so weiter

MfG

Auch MfG Sven