Hallo,
ich habe folgendes Integral aus der Physik zu lösen:
\prod_{j=1}^N \int_0^{2\pi} d\varphi_j \int_0^{\pi} d\theta_j;\sin(\theta_j);\exp (\beta M H cos (\theta_j))
Ich muss iwie \cos (\theta_j) geeignet substituieren, sodass das
Integral leichter zu lösen ist. Wäre \cos (\theta_j) = x_j empfehl-
enswert? Wie ändern sich dann die Grenzen und d’s?
Danke!
Grüsse.
Hallo!
Dein Vorschlag ist gut. Warum probierst du es nicht einfach aus ? Oder liegt das Problem in der Substitution selber?
Schreib dir halt an:
u=cos(x)
du/dx = -sin(x)
und dann umformen dx = - du / sin(x)
Dann siehst du, dass sich der sin aus der Angabe auch noch rauskürzt und dass INtegral wird leicht zu berechnen.
Wenn du nicht Grenzen substituieren willst, dann musst du halt rücksubstituieren am Ende.
lg
Dein Vorschlag ist gut. Warum probierst du es nicht einfach
aus ? Oder liegt das Problem in der Substitution selber?Schreib dir halt an:
u=cos(x)
du/dx = -sin(x)
und dann umformen dx = - du / sin(x)Dann siehst du, dass sich der sin aus der Angabe auch noch
rauskürzt und dass INtegral wird leicht zu berechnen.Wenn du nicht Grenzen substituieren willst, dann musst du halt
rücksubstituieren am Ende.
Ja, es liegt wohl an der Durchführung der Substitution selbst.
Ich substituiere also \cos(\theta) = x . Dann habe ich \frac{dx}{d\theta} = -\sin (\theta) ,
was äquivalent ist zu d\theta = \frac{dx}{-\sin (\theta)} und erhalte somit das Integral:
\prod_{j=1}^N \int_0^{2\pi} d\varphi_j \int_0^{\pi} \frac{dx_j}{-\sin (\theta_j)} \sin (\theta_j) \exp \left( \beta M H x \right) = \prod_{j=1}^N \int_0^{2\pi} d\varphi_j \int_0^{\pi} dx - \exp \left( \beta M H x \right)
Ist das so korrekt? Und wie substituiere ich die Grenzen?
Hallo,
ich habe folgendes Integral aus der Physik zu lösen:
\prod_{j=1}^N \int_0^{2\pi} d\varphi_j \int_0^{\pi}
d\theta_j;\sin(\theta_j);\exp (\beta M H cos (\theta_j))
wiewaswozusubstitution? Wenn ich Deinen θ-Integranden mal mit sin(x) ea cos(x) abkürzen darf (a = βMH), dann hat der doch wegen cos’ = –sin die Bauart
k f(a g(x)) : g’(x)
(k, a Konstanten) und in einem solchen Fall hat man stets Grund zu jubeln, weil man weiß, zu was das stammfunktioniert, nämlich
\frac{k}{a} : F(a g(x))
wobei F eine Stammfunktion zu f ist. Beweis durch simples Nachrechnen mit Kettenregel plus F’ = f.
Man sollte immer mit gut trainiertem Blick prüfen, ob ein Integrand „zufällig“ die Form k f(g) g’ hat, oder k f(ag) g’ oder k f(ag + b) g’, denn in allen diesen Fällen hat man mit der Stammfunktion leichtes Spiel (wobei Du grundsätzlich auch mit Substitution ans Ziel kommst, es wäre nur umständlicher). Aber bitte keinen falschen Schluss ziehen: Die Substitution hat trotzdem ihre Daseinsberechtigung! Sie ist zur Lösung vieler Integrale mit kompliziertem Integranden von unschätzbarem Wert.
Das φ-Integral kannst Du selbst erledigen.
Gruß
Martin
Hallo!
Ok, dann ist es leichter zu antowrten, wenn man genau weiß wo der Schuh drückt.
Bis jetzt siehts gut aus, wobei ich davon ausgehen, dass beta, M und H konstanten sind und nicht irgendwelche Funktionen von theta?
Jetzt löst du entweder das integral ohne Grenzen und machst die Substitution rückgängig, damit du die alten Grenzen verwenden kannst, oder du schreibst dir deine Subs. nochmal an:
u = cos(x) . Grenzen waren 0,pi glaub ich. Also einfach einsetzen:
u(0)=cos(0) = 1
u(pi) = cos(pi) = -1
und schon hast du deine neuen Grenzen. Ganz logisch.
lg
Alex