Geordnetes Paar nach Kuratowski

Wissenschaft Physik
#1

Hi,

ich hab da mal ne Frage zur Definition des geordneten Paares nach Kuratowski:
Er sagt ja (a,b)={{a},{a,b}}, jetzt stellt sich mir die Frage: Wie kommt er darauf, bzw. wie wird das bewiesen?
Der Hauptunterschied zwischen einem Tupel und einer Menge besteht ja darin, dass im Tupel die Reihenfolge von Bedeutung ist und in der Menge es egal ist, ob {1,2,3} oder {3,2,1}.
D.h., eine Definition eines 2-Tupels durch eine Menge müsste ja eigentlich bedeuten, dass die Reihenfolge in der Menge, egal, in welcher Reihenfolge man sie aufschreibt, der Reihenfolge des Tupels entspricht.
Wenn ich jetzt aber die Menge z.b. so aufschreibe {{b,a},{a}}, wäre doch auch (b,a)={{a},{a,b}}, oder nicht?
Wo hab ich da den Denkfehler? Oder hab ich da grundlegend etwas bei den Mengen/Tupeln nicht kapiert?

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe.

cu R.T.

#2

Hallo.

ich hab da mal ne Frage zur Definition des geordneten Paares
nach Kuratowski:
Er sagt ja (a,b)={{a},{a,b}}, jetzt stellt sich mir die Frage:
Wie kommt er darauf, bzw. wie wird das bewiesen?
Der Hauptunterschied zwischen einem Tupel und einer Menge
besteht ja darin, dass im Tupel die Reihenfolge von Bedeutung
ist und in der Menge es egal ist, ob {1,2,3} oder {3,2,1}.
D.h., eine Definition eines 2-Tupels durch eine Menge müsste
ja eigentlich bedeuten, dass die Reihenfolge in der Menge,
egal, in welcher Reihenfolge man sie aufschreibt, der
Reihenfolge des Tupels entspricht.
Wenn ich jetzt aber die Menge z.b. so aufschreibe {{b,a},{a}},
wäre doch auch (b,a)={{a},{a,b}}, oder nicht?
Wo hab ich da den Denkfehler? Oder hab ich da grundlegend
etwas bei den Mengen/Tupeln nicht kapiert?

Kann dieser Thread die (Un)Klarheit beseitigen: http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/14331.htm… ?
Quelle: böse Suchmaschine @ „geordnetes Paar“ +Kuratowski

HTH
mfg M.L.

#3

Hallo.
Kann dieser Thread die (Un)Klarheit beseitigen:
http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/14331.htm…
?
Quelle: böse Suchmaschine @ „geordnetes Paar“ +Kuratowski

HTH
mfg M.L.

Hi,

die Seite hatte ich mit Google auch schon gefunden, nur kommt bei mir dort immer ein HTTP403-Error :frowning:
Und bei der Google-Cache-Version werden keinerlei Grafiken angezeigt, also auch z.b. nicht die Formel in Jens’ Beitrag. Damit wird das Ganze dann wenig hilfreich :frowning:

#4

Hallo nochmal.

Hi,

die Seite hatte ich mit Google auch schon gefunden, nur kommt
bei mir dort immer ein HTTP403-Error :frowning:

Seltsam

Und bei der Google-Cache-Version werden keinerlei Grafiken
angezeigt, also auch z.b. nicht die Formel in Jens’ Beitrag.
Damit wird das Ganze dann wenig hilfreich :frowning:

Das ist sie: http://mitglied.lycos.de/schachspielen/mimetex_002.gif
Oder die Antwort von Hansotto:
"Ich habe für Dich einen Beweis gefunden:

Das Axiom der Gleichheit (Extensionalitätsprinzip - (Ext)):
v0 v1 ( v2 ( v2 v0 v2 v1) v0 = v1). In Worten: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Für geordnete Paare gilt: (x0, y0) = (x1, y1) , wenn x0 = x1 und y0 = y1
Also müsste für die Kuratowski-Formel gelten: (1) {{x0}, {x0, y0}} = {{x1}, {x1, y1}}

Fall 1: x0 = y0
Nach (Ext) ist {{x0}, {x0, y0}} = {{x0}} . Aus (1) wird (2) {{x0}} = {{x1}, {x1, y1}}.
Nach (Ext) ist dann: {x0} = {x1} , also: x0 = x1 , sowie {x0} = {x1, y1} , also:
x0 = x1 und x0 = y1 . Nach Voraussetzung für Fall 1 ist damit bewiesen:
x0 = x1 und y0 = y1

Fall 2: x0 y0
Nach (Ext) folgen aus (1):
(3): {x0} = {x1} oder {x0} = {x1, y1} sowie
(4): {x0, y0} = {x1} oder {x0, y0} = {x1, y1}
Zu (3): Aus (Ext) folgt: x0 = x1
Zu (4): Wäre {x0, y0} = {x1} wahr, so wäre nach (Ext): x0 = x1 = y0 , was der Voraus-
setzung für Fall 2 widersprechen würde. Somit ist die Identität {x0, y0} = {x1, y1} wahr.
Da x0 = x1 , so gilt: {x0, y0} = {x0, y1}. Nach Voraussetzung für Fall 2 ist x0 y0 .
Nach (Ext) ist daher: y0 = y1. QED"

HTH
mfg M.L.

#5

Hi,

hier an meinem anderen Rechner kann ich die Seite sehen…

Ich glaub, nu hab ich’s begriffen.
Vielen Dank für die schnelle Antwort!

cu R.T.