Geradenschnittpunkt

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

" Gegeben sind die 3 Punkte: A = (4,1,-3) und B = (-2,3,1)

a.) Bilden Sie die Gerade f, die A und B miteinander verbindet und überprüfen Sie, ob sich diese Gerade mit der Gerade g : x = (-9,3,0) + α (3,-1,4) schneidet.

b.) Verständnisaufgabe: Überlegen Sie sich einen Punkt C, so dass die Gerade h, die A und C miteinander verbindet, definitiv die Gerade g schneidet. "

zu a.)

Ich habe zunächst die Punkte A und B zu Ortsvektoren v und w gemacht und den Punkt A zum Stützvektor v = (4,1,-3) bestimmt.
Daraufhin habe ich u berechnet:

u = w-v = (-6,2,4)

u habe ich nun als Richtungsvektor der Geraden benutzt und somit als Ergebnis die Gerade f heraus:

f : x = (4,1,-3) + β (-6,2,4)

Diese Gerade habe ich im folgenden mit der Gerade g gleichgesetzt um α und β heraus zu bekommen:

aus III -->  α = -3/4 + β
in II -->  β = 11/4

Überprüfung mit I :
-9 + 3 α = 4 - 6 β --> -3 = -12,5   KEIN SCHNITTPUNKT!

Ist meine Vorgehensweise so korrekt? Ist es richtig, dass kein Schnittpunkt mit der Gerade g existiert?

zu b.) Hier fehlt mir jeder Ansatz… vielleicht liegt es daran, dass ich mich mit diversen Aufgaben bereits seit Stunden beschäftige. Gerne erfahre ich Tipps bei der Vorgehensweise dieser Aufgabe.

Vielen Dank für jede Hilfe!!!

#2

Hallo,

deine Lösung ist richtig. Es gibt keinen Schnittpunkt der Geraden.
Daraus folgt automatisch, dass auch A nicht auf g liegt. Also kann keine Gerade, die durch A geht, identisch mit g sein. Um den Punkt C zu finden reicht es dann, einen beliebigen Punkt auf der Geraden g zu verwenden. Beispielsweise den Stützvektor. Dann muss C der Schnittpunkt sein und da A nicht auf g liegt, gibt es auch keine weiteren Schnittpunkte.

Nico

#3

Vielen Dank… somit ist meine entstehende Gerade folgende:

h:x = (-9,3,0) [Stützvektor] + γ (4,1,-3) [Punkt A als Richtungsvektor]

Schönen Gruß

Reiner

#4

Aufpassen, ein Stützvektor kann in den meisten Fällen nicht als Richtungsvektor genutzt werden.
Der Punkt C ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden g (bspw. (-9, 3, 0)). Damit wäre die Aufgabe gelöst.
Eine zugehörige Geradengleichung wäre dann:
x =(4, 1, -3) + t (-13, 2, 3)
oder
x = (-9, 3, 0) + t (13, 2, 3)
oder beliebige andere Repräsentationen derselben Geraden. Der Richtungsvektor ist in diesem Fall die Differenz der beiden Punkte, die auf der Geraden liegen.
Wenn du direkt die Punkte in der Geraden nutzen willst, brauchst du eine andere Darstellung:
x = (1-t) * (4, 1, -3) + t * (-9, 3, 0)

Nico

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#5

Okay, hab’s jetzt! Tausend Dank!