Hallo Leute,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Die lautet wie folgt:
Gegeben sind die Punkte A(-1/5) und B(5,5/2). Bestimmen Sie auf der x Achse einen Punkt C , so dass A,B und C die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Der rechte Winkel muss bei C sein
Hallo,
gib dem Punkt C einen Namen, z.B. (Cx,0)
Dann kannst Du die Gleichungen der beiden Geraden durch A und C bzw. durch B und C aufstellen (2-Punkte-Formel). Damit hast Du dann auch deren Steigungen. In welcher Beziehung stehen die Steigungen, wenn sich die Geraden (in C) rechtwinklig schneiden?
Aus dieser Beziehung kannst Du Cx bestimmen.
Mehr verrate ich aber wirklich nicht.
Viele Grüße von Ph33
Hallo,
falls du vektoriell lösen darfst, nimmst du die Vektoren CA und CB, damit berechnest du das Skalarprodukt, das 0 ergeben muss. Setze einfach C(x|0) wie bereits vorgeschlagen, der Rest ist kein Problem.
Gruß
Hallo Weezy,
konventionell gelöst haben wir hier zwischen Gerade AC und Gerade (-1/0);(-1/5) denselben Winkel wie zwischen Gerade CB und der x-Achse. Somit komme ich zu folgender Gleichung (die Winkel beschreiben quasi relative Steigungen der Katheten AC und CB, die identisch sind): (1+x)/5=2/(5,5-x) (Die Gleichung enthält die identischen Steigungen einmal links für die Kathete AC und rechts für CB). Diese führt zu einer quadratischen Gleichung (soviel sei verraten) mit zwei
Lösungen für x: 1,5 bzw. 3. Der Punkt C kann also sowohl bei (1,5;0) wie auch bei (3;0) liegen. Noch Fragen? MfG Thomas
Hallo Thomas Spilles,
Deine Ausführungen verstehe ich überhaupt nicht.
Hallo Weezy,
konventionell gelöst haben wir hier zwischen Gerade AC und
Gerade (-1/0);(-1/5) denselben Winkel wie zwischen Gerade CB
und der x-Achse
Wie kommst Du darauf?
. Somit komme ich zu folgender Gleichung (die
Winkel beschreiben quasi relative Steigungen der Katheten AC
und CB, die identisch sind):
Was sind denn „relative Steigungen?“ Und wieso identisch?
(1+x)/5=2/(5,5-x) (Die Gleichung
enthält die identischen Steigungen einmal links für die
Kathete AC und rechts für CB). Diese führt zu einer
quadratischen Gleichung (soviel sei verraten) mit zwei
Lösungen für x: 1,5 bzw. 3. Der Punkt C kann also sowohl bei
(1,5;0) wie auch bei (3;0) liegen. Noch Fragen? MfG Thomas
Vielleicht könnte sich Weezy mal äußern, ob er Deine Gedanken verstanden hat.
Viele Grüße von Ph33
Hallo
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Die lautet wie
folgt:
Schau mal hier FAQ:3138
Gegeben sind die Punkte A(-1/5) und B(5,5/2). Bestimmen Sie
auf der x Achse einen Punkt C , so dass A,B und C die
Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks sind.
Hast Du schon eigene Lösungsansätze?
Der rechte
Winkel muss bei C sein
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Thales#Mathematik
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Thales
Gruß
Jörg Zabel
Hallo,
Lösungen für x: 1,5 bzw. 3. Der Punkt C kann also sowohl bei
(1,5;0) wie auch bei (3;0) liegen.
Habe ich zeichnerisch auch.
Gruß:
Manni
Ph33,
die Kathete AC beschreibt eine relative Steigung (und ebenso einen Winkel) zur Geraden, die bei Punkt A beginnt und durch den Punkt (-1;0) läuft (diese Gerade ist übrigens parallel zur y-Achse).
Die Kathete CB hat zwischen sich und der x-Achse denselben Winkel (und dieselbe Steigung) wie die Kathete AC zur Gerade oben (Die Steigung von AC zur Parallelen verläuft „umgekehrt“, also ich teile hier Delta x durch Delta y und nicht wie sonst Delta y durch Delta x - deshalb nenne ich sie „relativ“. Delta bedeutet hier natürlich die Differenz zweier Koordinaten).
Aus der Gleichung, die ich nenne, ergeben sich zudem diese Steigungen: Delta x links in der Gleichung ist gleich 1+x (der Abstand von x=(-1) zur x-Koordinaten von Punkt C).Delta y ist hier gleich 5 (Punkt A liegt ja bei y=5). Rechts vom Gleichheitszeichen in der Gleichung ist zunächst Delta y gleich 2 (wegen y-Koordinate von B = (2). Delta x ist aber rechts 5,5-x, weil wir hier wieder den Abstand von x=(5,5) zur x-Koordinaten von C suchen.
Übrigens ist die Steigung von BC eine völlig „normale“ Steigung, nicht wie von AC senkrecht gedacht, also rechne ich hier völlig definitionsgetreu Delta y durch Delta x.
Man muss sich also die beiden „relativen“ Steigungen der Katheten veranschaulichen:
Die Steigung von AC ist gegen eine Parallele zur y-Achse verlaufend (und damit quasi „umgekehrt“, denn Steigungen orientieren sich normalerweise an der x-Achse), die
von BC verläuft normal, also zur x-Achse.
Das Dreieck befindet sich verschoben innerhalb der Parallelen zur y-Achse und der x-Achse, die ebenso einen Winkel von 90° bilden. Wenn man sich das klarmacht, dann erscheint klar, warum die Winkel (und damit die Steigungen)
identisch sind. Bei weiteren Fragen einfach das Beispiel zeichnen (und die Parallele zur y-Achse mit einzeichnen), dann dürfte meine Ausführung verständlicher werden.
Soviel hierzu und MfG Thomas Spilles
Hallo Thomas,
Deine Erläuterungen sind zwar länger, aber deswegen nicht verständlicher für mich.
Ich habe das Problem mal aufgezeichnet. Wenn man sieht, dass es sich bei den Dreiecken
(A,C,Projektion von A auf die x-Achse) und (B,C,Projektion von B auf die x-Achse) um
ähnliche Dreiecke handelt (Übereinstimmung in 2 Winkeln), kommt man sofort auf
Deine Gleichung. Dazu muss man nicht neue Begriffe einführen, wie z. B. „relative Steigung“. Das hat mich verwirrt, und ich konnte daher Deiner Argumentation nicht so ohne Weiteres folgen.
Viele Grüße von Ph33
Hallo Ph33,
sorry erstmal für meine verspätete Antwort und dafür, dass ich mich nicht an die übliche mathematische Terminologie gehalten habe (bin leider nur Interessierter, kein Experte).
Ähnliche Dreiecke sind aber doch auch die Dreiecke (A;C:stuck_out_tongue_winking_eye:unkt(-1;0)) und (B;C:stuck_out_tongue_winking_eye:unkt(5,5;0)), die in allen drei Winkeln übereinstimmen (mit den Winkeln arctan(0.5);arctan(2);90° für C bei (1.5;0) oder die Alternative arctan(0.8);arctan(1.25);90° für C bei (3;0)), oder?
Falls ich falsch liegen sollte, bitte ich um Aufklärung. In den genannten Dreiecken sind auch meine sogenannten „relativen“ Steigungen zu finden (die der Kathete AC zur Parallelen der y-Achse und von BC zur x-Achse, die identischen Winkel sollten sein 1.)arctan(0.5) für C bei (1.5;0) bzw. 2.) arctan(0.8) für C bei (3;0)).
MfG Thomas
Hallo Thomas,
Hallo Ph33,
sorry erstmal für meine verspätete Antwort und dafür, dass ich
mich nicht an die übliche mathematische Terminologie gehalten
habe (bin leider nur Interessierter, kein Experte).
Ähnliche Dreiecke sind aber doch auch die Dreiecke
(A;C:stuck_out_tongue_winking_eye:unkt(-1;0)) und (B;C:stuck_out_tongue_winking_eye:unkt(5,5;0)), die in allen drei
Winkeln übereinstimmen
genau diese Dreiecke meinte ich. Egal, welche Zahlenwerte die Koordinaten von A und B haben, kann man folgern, dass die Dreiecke ähnlich sind.
Benennung der Winkel:
alpha = Winkel bei A im Dreieck A,C,Proj. von A auf x-Achse
beta = Winkel bei C im selben Dreieck
alpha1 = Winkel bei C im Dreieck B,C,Proj. von B auf x-Achse
beta1 = Winkel bei B im selben Dreieck
Die Winkelsumme der 3 Winkel bei C ist 180°, also beta + alpha1 + 90° = 180°,
die Winkelsumme in den Dreiecken ist auch jeweils 180°, also alpha + beta + 90° = 180°
bzw. alpha1 + beta1 + 90° = 180°. Daraus folgt:
alpha = alpha1
beta = beta1
Man braucht dafür also weder arctan noch „relative Steigungen“ zu bemühen, das verwirrt nur.
(mit den Winkeln
arctan(0.5);ar
ctan(2);90° für C bei (1.5;0) oder die
Alternative arctan(0.8);arctan(1.25);90° für C bei (3;0)),
oder?
Falls ich falsch liegen sollte, bitte ich um Aufklärung. In
den genannten Dreiecken sind auch meine sogenannten
„relativen“ Steigungen zu finden (die der Kathete AC zur
Parallelen der y-Achse und von BC zur x-Achse, die identischen
Winkel sollten sein 1.)arctan(0.5) für C bei (1.5;0) bzw. 2.)
arctan(0.8) für C bei (3;0)).
MfG Thomas
Viele Grüße von Ph33