Gesamtwahrscheinlichkeit beim Würfeln

Wissenschaft Mathematik
#1

Hey, ist mir fast schon peinlich so eine Frage zu stellen, aber ich steck grad in der Leitung (und spät ist es auch)

Es sei ein fairer Mensch-ärgere-dich-nicht-Würfel gegeben
Es gilt die Gesamtwahrscheinlichkeit herauszufinden nachdem nach 3 Würfen eine 6 auftritt.

Die drei Würfe hängen ja nicht von einander ab, d.h. ich hab 3*1/6, was ja 3/6 sind. Wenn ich 6 mal versuche eine 6 zu werfen, wäre das ja dann 6/6, also 1. Wie ist das dann zu interpretieren? Würde ja dann bedeuten bei 6 Versuchen eine 6 zu werfen wäre sicher. Ist es aber nicht, kann ja auch 6 mal keine 6 kommen.
Rein vom Gefühl her müsste sich doch die Gesamtwarscheinlichkeit an 1 annähern („mit mehr Würfen ist es warscheinlicher die 6 zu werfen, aber dennoch nicht garantiert“). Oder ist das Einbildung und die Warscheinlichkeit bleibt bei 1/6?

also
1/6
n/6
oder
irgend eine grenzwertige funktion?

#2

Hallo.

Es sei ein fairer Mensch-ärgere-dich-nicht-Würfel gegeben
Es gilt die Gesamtwahrscheinlichkeit herauszufinden nachdem
nach 3 Würfen eine 6 auftritt.

Wahrscheinlich suchst Du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Sechs geworfen wird. Dann musst Du unterscheiden zwischen den Fällen, dass genau eine Sechs, genau zwei Sechsen oder genau drei Sechsen geworfen wurden. Deswegen ist es rechentechnisch günstiger, dass Gegenereignis zu berechnen, dass nämlich keine Sechs geworfen wurde.

Die Wahrscheinlichkeit für „keine Sechs“ beträgt in jedem Wurf 5/6, bei drei Würfen also (5/6)^3, entsprechend die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs 1-(5/6)^3.

Wenn Du statt der Drei im Exponenten größere Zahlen einsetzt, dann siehst Du, wie die Wahrscheinlichkeit mit steigender Anzahl von Würfen immer näher an Eins geht.

Die drei Würfe hängen ja nicht von einander ab, d.h. ich hab
3*1/6, was ja 3/6 sind. Wenn ich 6 mal versuche eine 6 zu
werfen, wäre das ja dann 6/6, also 1. Wie ist das dann zu
interpretieren? Würde ja dann bedeuten bei 6 Versuchen eine 6
zu werfen wäre sicher. Ist es aber nicht, kann ja auch 6 mal
keine 6 kommen.

Richtig beobachtet. So darfst Du halt nicht rechnen.

Rein vom Gefühl her müsste sich doch die
Gesamtwarscheinlichkeit an 1 annähern („mit mehr Würfen ist es
warscheinlicher die 6 zu werfen, aber dennoch nicht
garantiert“).

Stimmt. Und mit der oben genannten Rechenvorschrift kannst Du dieses Gefühl gut durch Zahlen untermauern und diese z. B. graphisch darstellen.

Liebe Grüße,

The Nameless

#3

Die Regeln noch mal.
Wenn man innerhalb von 3 Würfen eine 6 hat wird eine Figur aus dem Pott geholt und auf den Startpunkt gesetzt. Danach darf noch einmal gewürfelt werden um die Figur zu bewegen(das ist aber nicht gefragt)

p(Figur kommt aus dem Pott)=p(beim ersten Versuch eine 6) + p(beim zweiten Versuch eine 6) + p(beim dritten Versuch eine 6)

Wenn man beim zweiten Versuch eine 6 hat bedeutet dies, dass man beim ersten KEINE 6 hatte.

p(Figur kommt aus dem Pott) = 1/6 + 5/6*1/6 + 5/6*5/6*1/6

Taschenrechner; fertig

#4

Es tut mir Leid,

aber Deine Lösung ist falsch.
Wenn man beim ersten Wurf eine 6 hat wird der zweite Wurf gar nicht mehr durchgeführt.

Deine Berechnung beinhaltet aber den zB die Würfe
keine;eine;keine
eine;eine;keine
eine;keine;keine

Alles Kombinationen die im Spiel gar nicht vorkommen.

#5

Es tut mir Leid,

aber Deine Lösung ist falsch.
Wenn man beim ersten Wurf eine 6 hat wird der zweite Wurf gar nicht :mehr durchgeführt.

Deine Berechnung beinhaltet aber den zB die Würfe
keine;eine;keine
eine;eine;keine
eine;keine;keine

Alles Kombinationen die im Spiel gar nicht vorkommen.

Ich hab mit keinem Wort behauptet dass es um das Spiel geht! Ich hab nur gesagt, dass der Würfel ein fairer Mensch-ärgere-dich-nicht-Würfel ist. Und das mit den „3 Würfen - eine Sechs“ ist Zufall, da hätte auch „7 Würfe - eine Drei“ stehen können.

Wie der Namenlose richtig erkannt hat ist „3 Würfe - mindestens eine Sechs“ gesucht, was ich nicht deutlich genug gemacht habe (dafür ein Sternchen).
Seine Ausführungen sind einfach und absolut nachvollziehbar.

Trotzdem Danke für deine Mühe

PS: Deine Formel produziert die selben Ergebnisse für n Würfe :wink: Wenn du behauptest

Es tut mir Leid,

aber Deine Lösung ist falsch.

impliziert das, dass deine auch falsch wäre

#6

Hi,

entschuldige, ich habe wegen dem Namen „Mensch-ärgere-dich-nicht-Würfel“ angenommen, dass es um dieses Spiel geht wo man ja tatsächlich 3x Würfeln darf wenn man aus dem Pott heraus will.

Dann nenne es beim nächsten mal doch einfach einen fairen sechsseitigen Würfel.

MFG

#7

Hallo.

Es tut mir Leid,
aber Deine Lösung ist falsch.

Das glaube ich Dir noch nicht.

Wenn man beim ersten Wurf eine 6 hat wird der zweite Wurf gar
nicht mehr durchgeführt.
Deine Berechnung beinhaltet aber den zB die Würfe
keine;eine;keine
eine;eine;keine
eine;keine;keine
Alles Kombinationen die im Spiel gar nicht vorkommen.

Von einem Spiel hat der UP auch nicht geschrieben. Da er auf Deinen anderen Beitrag schon geantwortet hat, denke ich auch, dass ich den UP richtig verstanden habe.

In jedem Fall habe ich ja zur Sicherheit dazugeschrieben, was ich ausrechne. Und das ist auch richtig.

Im Übrigen liefert, wie der UP auch bereits festgestellt hat, Deine im anderen Beitrag gegebene Berechnungsvorschrift mit

\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot
\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{91}{216}

den gleichen Wert wie meine Vorschrift

1-\left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1-\frac{125}{216} = \frac{91}{216}.

Das ist auch klar, weil Du auf Deine Herangehensweise das gleiche ausrechnest wie ich auch. :smile:

In Deiner Berechnung werden alle Ereignisse abgebrochen, wenn die erste Sechs auftritt. So startest Du z. B. mit 1/6 für eine Sechs im ersten Wurf. Wenn ich von Dreierwürfen mit mindestens einer Sechs spreche, dann sind natürlich Ereignisse wie 6** und 6*6 dabei, wo * für eine Nicht-Sechs steht. Das macht aber nicht, weil alle Ereignisse berücksichtigt werden, die mit der Sechs beginnen.

Ich drücke mich nur davor, diese Ereignisse alle einzeln zu berechnen, indem ich (m. E. geschickt) mit dem Gegenereignis arbeite. Du kommst mit Deiner Berechnungsvorschrift übrigens genau bei meiner an, wenn Du mit der geometrischen Reihe arbeitest:

\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot
\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}

\frac{1}{6} \left[
1 + \frac{5}{6} + \Big(\frac{5}{6}\Big)^2
\right]
= \frac{1}{6} \cdot \frac{1-\big(\frac{5}{6}\big)^3}{1-\frac{5}{6}}
= 1-\left(\frac{5}{6}\right)^3.

Liebe Grüße,

The Nameless