Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
Hallo.
Ziel ist es, die Summe quasi anders auszudrücken, also nicht als Summenzeichen, sondern eben als Term in Abhängigkeit von n.
Schreibe Dir doch einmal die ersten Summanden auf und schau mal, ob Du sie kombieren kannst, zum Beispiel das erste und letzte Glied der Summe, oder zwei benachbarte, etc.
Möglicherweise siehst Du dann eine Logik dahinter oder kannst die Summanden derart zusammenfassen, dass der Ausdruck in Abh. von n darstellbar. Einfach einmal ein wenig knoblen.
Viel Erfolg.
Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
Hi,
hast du dir die Ergebnisse in Abhängigkeit von n mal angeschaut?
n Ergebnis
1 1/2 1/2
2 1/2 + 1/4 3/4
3 1/2 + 1/4 + 1/8 7/8
4 7/8 + 1/16 15/16
... (usw) ...
n 1/2 + ... + 1/2^n (2^n - 1)/2^n = 1 - 1/2^n ???
Die letzte Zeile ist erst mal eine Vermutung. Beweis könnte dann z.B. mit vollständiger Induktion (http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induk…) erfolgen.
gruss
b.
Geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n.
Moin.
Für jemanden, der „keinen blassen Schimmer“ hat, ist es wohl am besten, ich mache es mal ganz anschaulich.
Gemeint ist, wie ich vermute:
n 1 k 1 1 1
Summe ( - ) = - + - + - + ...
k=1 2 2 4 8
Okay? Die Summe nähert sich mit jedem Summanden der 1. Es fehlt jeweils nur noch (der Reihe nach) 1/2, 1/4, 1/8 usw. bis zur 1, wie die Skizze zeigt:
+-----++-----++-----++-----+ 1
| || || |+-----+
Zum Beispiel bei n=3 fehlt noch 1/8 = (1/2)^3. Wenn nur noch 1/8 an 1 fehlt, ist die Summe insgesamt 1-1/8 (= 7/8).
Für beliebiges n fehlt an der 1 noch (1/2)^n.
Die Summe ist dann also gleich?
Damit sollte die Aufgabe verständlich gelöst sein.
So long
Eckard C.
Hi,
also der einfache Weg ist, bei wikipedia nach der geometrischen Reihe zu suchen.
Besser ist es natuerlich, selber eine Loesung zu finden. Weist Du wie ein Induktionsbeweis funktioniert? Du versuchts herauszufinden, wie sich S_n zu S_{n+1} verhaelt. Man muss ein bisschen mit den gleichungen spielen, um eine moegliche Beziehung zu finden. Diese musst du testen, etwa auf Anfangsbedingungen. Aber ja, es ist ein Induktionsbeweis und manchmal braucht man laenger fuer eine Loesung, aber es lohnt sich wirklich, da diese Reihe sehr sehr wichtig ist.
Viele Gruesse!
Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
Hallo,
für n gegen unendlich ist die Summe 1.
Geometrische Lösung:
Auf dem Zahlenstrahl ist der 1. summand in der Mitte von 0 und 1.
Der 2. Summand ist die Hälfte des 1. Summanden, wenn der addiert wird steht die Summe der ersten 2 Summanden bei 0,75, in der Mitte zwischen 1. Summand und 1.
Der 3. Summand (1/8) ist die Hälfte des 2. Summanden, wenn der addiert wird steht die Summe der ersten 3 Summanden bei 0,875, in der Mitte zwischen der summe der ersten 2 Summanden und 1.
u.s.w.
Die Summe nähert sich immer mehr der 1, der Abstand zur „1“ wird mit jedem neuen Summanden halbiert.
Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
Stichwort: Geometrische Reihe
(1-0,5 hoch n) : ( 1 - 1/2) wäre die Summe, wenn es bei k=0 los ginge. Bei Die aber erst bei k=1.
Also ist von meinem Ausdruck oben noch die 1 zu subtrahieren.Ich kriege durch Vereinfachen dann (ohne Gewähr) 1-1:frowning:2 hoch (n-1)) raus
Gruß von Max
Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
Hm. Geschlossene Formel?! Na, jedenfalls ist es egal, wo hier die Klammer ist, um das 1/2 oder um das 2^k, das ist in dem Fall das gleiche.
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … = 1 für k = 1 bis unendlich.
für k = 1 bis n demnach:
1 - 1/2^k
Gruß
Schreib-, Rechen-, Denk- und Leichtsinnsfehler vorbehalten…
hallo
lt. wiki finde ich die formel:S= 1/(1-1/2)= 2
das wäre dann der grenzwert
mehr weiß ich dann auch nicht . . .
sorry
lg ralf
Hallo,
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(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
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Hi, schau mal auf der Seite
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28k%3D1%2C…
Gruß Samuel
Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
so, ich habe lange überlegt und dann eine passende AW gefunden
hoffe ich:
P.S. ich schreibe lieber von Hand.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/38277689/Tobi/we…
bei fragen bitte schreiben
Hallo,
ich muss eine geschlossene Formel für die Summe:
(Summenzeichen)1/2^k finden, die Grenzen sind k=1 bis n. Kann
mir jemand weiterhelfen? Ich hab keinen blassen Schimmer.
sorry, habe die Anfrage übersehen. Ich denke, Du hast die Antwort schon längst von jemand anderem bekommen, aber hier trotzdem noch mein Versuch:
Der Grenzwert der Summe für k gegen unendlich ist 1. Der Abstand von diesem Grenzwert wird mit jedem Schritt halbiert, also ist die gesuchte geschlossene Formel 1 - 1/2^n
Wenn man es mathematisch exakt haben möchte anstatt intelligent geraten, muß man das natürlich noch beweisen. Es ist ziemlich offensichtlich, daß das per Induktion laufen wird. Den Beweis spare ich mir aber erstmal - solltest Du immer noch daran interessiert sein, sag Bescheid.
genumi