Hallo Helge!
Genau dieses Problem haben wir in unserer WT-Vorlesung besprochen. Wie Du schon selbst sagst, gibt es 2 Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Einmal ist das Ergebnis 1/3, das andere mal aber 1/2.
Stehe eine 0 für einen Jungen, eine 1 für ein Mädchen.
Also, beim 1. Modell ist dann Ω = {0,1}² . Dann interpretiert man (w_1, w_2) als älteres Kind ist w_1, jüngeres Kind ist w_2.
Die Sigma-Algebra sei die Potenzmenge von Ω und P sei die Laplace- Verteilung (also Anzahl der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle). Da wir wissen, dass das erste Kind ein Junge ist, hat man die Information B = { (0,1), (0,0), (1,0) } als mögliche Ereignisse und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A = { (0,0)}. Daraus folgt dann mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
P (A\B) = P (A∩B) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
Problem: In diesem Modell ist die W´keit der Hypothese P(B) = 3/4. Diese sollte aber 1/2 sein, weil man ja genauso gut hätte können ein Mädchen sehen.
Deshalb ist im 2. Modell Ω = {0,1}² x {1,2}, wieder Potenzmenge als Sigma-Algebra und P sei wieder die Laplace-Verteilung.
Dann wird (w_1, w_2, i) interpretiert als 1. Kind ist w_1, 2. Kind ist w_2 und i-tes Kind am Fenster gesehen.
Hypothese B = {(w_1, w_2,i) Element Ω: w_i = 0}
= { (0,1,1), (1,0,2), (0,0,1), (0,0,2)}
Hieraus folgt P(B) = 1/2 und
A = {(w_1, w_2, i) Element Ω: w_1 = w_2 = 0}
= {(0,0,1), (0,0,2)}
Daraus folgt dann wieder die bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A\B) = (2/8) / (1/2) = 1/2.
Ich hoffe, ich konnte dir so helfen.
Gruß
