Gewicht von Stab und Seil gehalten - Kräfte

Wissenschaft Physik
#1

hallo!

Ein Gewicht soll von einem Stab und einem Seil nach folgender Skizze gehalten werden:
http://abload.de/img/unbenanntuguvp.jpg
blau - Gewicht
orange - Erdboden
rot - Stange
grün - Seil

Auf die Stange soll nur eine Kraft parallel zu ihr ausgeübt werden. Die Stange soll also nicht verbogen werden.

Wenn das Gewicht den Betrag x hat, die Stange die Länge y und die Stange mit dem Erdboden den Winkel alpha bildet,

  • welche Druckfestigkeit muss dann die Stange aufnehmen können
  • welche Zugefestigkeit muss das Seil aufnehmen können
  • wie lang muss das Seil sein
  • in welchem Winkel muss das Seil zum Erdboden stehen?

Ich habe schon einige Kräfteparallelogramme gezeichnet, aber jedesmal ist wieder was faul. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir auf die Sprünge zum Lösungsansatz helfen könntet. Welche Kraft kompensiert wie wo was?

Gruß
Paul

PS: Mir fällt gerade auf, dass die Stange mindestens auf Grund ihres Eigengewichts verbogen werden wird. Dies soll aber in der Lösung zulässig sein, auf sie soll kein zusätzliches Biegemoment durch das (blaue) Gewicht wirken.

#2

Moin Paul,

2h54’ scheint nicht die Zeit für so eine Aufgabe zu sein.

Zeichne doch einfach mal ein blaues Lot von Deinem Gewicht zum Boden, dann sind doch alle Relationen an Zug-, Druck- und Gewichtskräften (grün-rot-blau) bereits fertig auf dem Papier!

Good luck.

#3

Hallo,

Zeichne doch einfach mal ein blaues Lot von Deinem Gewicht zum
Boden, dann sind doch alle Relationen an Zug-, Druck- und
Gewichtskräften (grün-rot-blau) bereits fertig auf dem Papier!

da irrst Du (übrigens eine beliebte Falle bei dieser Aufgabe). Das Kräfteparallelogramm für dieses Problem ist weder ähnlich zum Stange-Boden-Masselotlinie-Dreieck noch zum Seil-Boden-Masselotlinie-Dreieck. Diese Dreiecke sind beide rechtwinklig, aber das Kräfteparallelogramm enthält i. a. keinen rechten Winkel.

Tipp an den Fragesteller: Fertige eine Skizze an. Spendiere ihr ein ganzes DIN-A4-Blatt und ziehe alle Linien mit einem Geodreieck und einem gespitzten Bleistift. Es ist erstaunlich, wieviel große, präzise Zeichnungen zum Erkenntnisgewinn beitragen können.

Die zeichnerische Lösung der Aufgabe erschöpft sich darin, die Kraft -m\vec{g} korrekt nach den beiden Richtungen zu zerlegen, die durch die Stange und das Seil vorgegeben sind. Versuchs nochmal selbst.

Gruß
Martin

#4

nochmal durchdacht
Ich hab alles nochmal durchdacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
beispielsweise:
Gewichtskraft blauer Körper: 1 N
Länge Stab: 1 cm
Winkel Stab/Erdboden: 45 °
Bruchlast Stab: 2 N

dann
Bruchlast Seil: 1,48 N
Winkel Seil/Erdboden: 16,3 °
Länge Seil: 2,52 cm

Ohne die Bruchlast des Stabs gibt es wohl keine eindeutige Lösung, die muss auch feststehen. oder es gibt halt mehrere Lösungen.
Ist ganz interessant, mit den Werten rumzuspielen und zu sehen, dass wenn man die Bruchlast des Stabs erniedrigt, aufeinmal der Winkel Seil/Erdboden negativ wird, d.h. das Seil nach oben ziehen müsste.

Dabei ist mir jedoch aufgefallen, dass wenn ich die Bruchlast des Stabs erhöhe, sich auch die Bruchlast des Seils erhöht. Wenn man nicht von Bruchlasten, sondern von Kräften ausgeht, ist das ja nachvollziehbar: Wenn in Stabrichtung aufwärts eine höhere Kraft wirkt, muss in Seilrichtung nach unten eine höhere wirken, um die Differenz zu kompensieren. Doch bei den Materialien sollte auch eine Lösung möglich sein, wenn die Bruchlast nicht ausgerezizt wird.
Wenn ich den Stab stabiler mache, muss ich ja nicht das Seil auch stabiler machen.
Wie könnte man das in die Lösung einbeziehen?

Gruß
Paul

#5

Tipp an den Fragesteller: Fertige eine Skizze an. Spendiere
ihr ein ganzes DIN-A4-Blatt und ziehe alle Linien mit einem
Geodreieck und einem gespitzten Bleistift. Es ist erstaunlich,
wieviel große, präzise Zeichnungen zum Erkenntnisgewinn
beitragen können.

Die Dreiecke sind zwar nicht rechtwinklig, aber mit Kosinus- und Sinussatz kann man diese berechnen. Ich habs mir skizziert und dann berechnet, das klappt bis auf das im anderen Beitrag beschriebene Problem auch gut.

Gruß
Paul

#6

Hallo,

da die Stabkraft gegeben ist, kannst du die Aufgabe auch zeichnerisch lösen.
Zeichne die Last maßstäblich als senkrechten Pfeil der Größe nach ein (1 N)
An der Pfeilspitze zeichne unter 45° nach oben rechts die
Stabkraft (2 N) ein (Die Bezeichnung zul. Knicklast wäre besser als Bruchlast).
Verbinde diese neue Pfeilspitze mit dem Anfangspunkt der Last. Nun hast du ein geschlossenes Krafteck und kannst die Größe der Seilkraft und deren Winkel zur Horizontalen abmessen.
(Rechnen kann man’s auch:wink:)

Gruß:
Manni

#7

Die Dreiecke sind zwar nicht rechtwinklig, aber mit Kosinus-
und Sinussatz kann man diese berechnen. Ich habs mir skizziert
und dann berechnet, das klappt bis auf das im anderen Beitrag
beschriebene Problem auch gut.

Da Dein Ergebnis 16.3° aus dem Zahlenbeispiel in Deinem anderen Artikel stimmt, gehe ich davon aus, dass Du das Problem geknackt hast.

Wenn ich mit α und β die Winkel der Stange bzw. des Seils gegen den Boden bezeichne, dann wird die Stange mit der Druckkraft A und das Seil mit der Zugkraft B belastet, und es ist

A = \frac{\cos\beta}{\sin(\alpha-\beta)} :mg
\quad\quad
\textnormal{und}
\quad\quad
B = \frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha-\beta)} :mg

Das ist das allgemeine Ergebnis, das Du (eventuell in etwas anderer Form) auch schon selbst gefunden haben musst. In der obigen Form ist es gebrauchsfertig für die Fragestellung „Wenn m, g, α, β gegeben sind, wie groß sind dann A und B?“. Da Deine Fragestellung aber eine andere ist, nämlich „Wenn m, g, α, A gegeben sind, wie groß sind dann β und B?“ muss das Gleichungssystem nach β aufgelöst werden. Dabei kommt heraus

\tan\beta = \tan\alpha - \frac{mg}{A\cos\alpha}

Für mg = 1 N, A = 2 N und α = 45° liefert das dann Dein β = 16.3°.

Wenn ich den Stab stabiler mache, muss ich ja nicht das Seil auch :stabiler machen.

Bei Deiner Betrachtungsweise des Problems schon: Das Stabilermachen des Stabs hat einen neuen (und zwar größeren) β-Winkel zur Folge. Das bedeutet, der Boden-Verankerungspunkt des Seils rückt näher an den des Stabes heran. Das macht das Kräfteparallelogramm noch flacher und da das vorhandene Seil der daraus resultierenden größeren Zuglast nicht mehr gewachsen wäre, bist Du gezwungen, es stabiler zu machen.

Martin

#8

Bei Deiner Betrachtungsweise des Problems schon: Das Stabilermachen des Stabs hat einen neuen (und zwar größeren) β-Winkel zur Folge. Das bedeutet, der Boden-Verankerungspunkt des Seils rückt näher an den des Stabes heran. Das macht das Kräfteparallelogramm noch flacher und da das vorhandene Seil der daraus resultierenden größeren Zuglast nicht mehr gewachsen wäre, bist Du gezwungen, es stabiler zu machen.

Bei einer bestimmten Lösung, in der das System im Gleichgewichtszustand ist, würde sich am Gleichgewicht doch nichts ändern, wenn ich den Stab doppelt so tragfähig machen würde.
Das Gleichgewicht würde weiterhin bestehen, ohne dass das Seil verändert würde. Das Problem mit dem Ansatz und dem Kräfteparallelogramm ist, dass die Materialien nicht an ihre Belastungsgrenze belastet werden müssen.

Der Ansatz soll bei gegebenen Stabeigenschaften nicht einen Ansatzpunkt des Seils liefern, der möglichst nah an dem des Stabs liegen. Sondern er soll eine Lösung liefern, bei der möglichst wenig Seilmaterial verwendet wird.

Gruß
Paul

#9

Bei einer bestimmten Lösung, in der das System im
Gleichgewichtszustand ist, würde sich am Gleichgewicht doch
nichts ändern, wenn ich den Stab doppelt so tragfähig machen würde.

Das Gleichgewicht würde weiterhin bestehen, ohne dass das Seil
verändert würde.

Korrekt.

Das Problem mit dem Ansatz und dem
Kräfteparallelogramm ist, dass die Materialien nicht an ihre
Belastungsgrenze belastet werden müssen.

Mir ist wirklich nicht klar, wo genau Du ein Problem siehst. Aus welchen Größen soll der Input der Aufgabe bestehen?

Der Ansatz soll bei gegebenen Stabeigenschaften nicht einen
Ansatzpunkt des Seils liefern, der möglichst nah an dem des
Stabs liegen. Sondern er soll eine Lösung liefern, bei der
möglichst wenig Seilmaterial verwendet wird.

Du brauchst einfach umso weniger Seilmaterial desto weiter weg Du das Seil am Boden verankerst, d. h. desto flacher es dann verläuft. Im Grenzfall β→0 muss es nur noch mg/tan α aushalten können. Bei einem realen Seil wird sich ab einer gewissen Länge natürlich dessen Eigengewicht zunehmend bemerkbar machen – aber das ist dann ein anderes (und mathematisch viel schwierigeres) Problem.

#10

Hallo

Vorschlag.

Gruß:
Manni

[url=[http://www.bilder-hochladen.net/files/94cu-c-c20a-jp…](http://www.bilder-hochladen.net/files/94cu-c-c20a-jpg.html][img]http://www.bilder-hochladen.net/files/thumbs/94cu-c-c20a.jpg[/img][/url)]

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#11

da irrst Du (übrigens eine beliebte Falle bei dieser Aufgabe).

Das mag um 8h morgens sein!

Jedenfalls hat sich dadurch niemand entblödet,
auf der hier üblichen „Keine-Hausaufgaben-Welle“ rumzureiten :wink:)