Gewinnmaximum berechnen

[RSS88]

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Sie besitzen ein Feld mit Apfelbäumen, welches aktuell mit 50 Bäumen bepflanzt ist. Ein Landschaftsgärtner macht Ihnen den Vorschlag, weitere Bäume zu pflanzen, wobei sich der erzielbare Ertrag E in Euro pro Baum dann mit der Formel

E = 1300 - 10x

berechnet (x bedeutet hierbei die Anzahl der Bäume, die auf Ihrem Grundstück stehen)

a.) Wie viele Bäume müssen Sie pflanzen, damit Ihr Gesamtgewinn maximal wird?
b.) Um wie viel Euro steigern Sie Ihren Gewinn, den Sie aktuell mit nur 50 Bäumen erzielen? "

Ich kann zunächst den Ertrag mit 50 Bäumen mit vorgegebener Formel ausrechnen:

E = 1300 - 10 * 50 = 800 €

Damit ich aber nun mein Gewinnmaximum herausfinden kann, muss ich die Gewinnfunktion aufstellen können:

G(x) = E(x) - K(x)

Nun habe ich nur E(x) bzw. E(50) gegeben und weiß nicht, wie ich weiter kommen soll, um eben die Funktion aufstellen zu können um schlussendlich die Ableitung G’ bilden zu können um das Gewinnmaximum zu erhalten.
Ich habe keine weiteren Angaben. Mich irritiert in der vorgegeben Formel folgendes:

Normale Ertragsfunktion: E(x) = x * p  , also Menge mal Stückpreis (bei konstantem Preis)

Die Menge ist hier zunächst 50 Bäume, doch was ist nun der Preis? 10? 1300? Warum das Minus-Zeichen?
Sind eventuell in der vorgegebenen Ertragsfunktion schon weitere Informationen gegeben (die Kosten zum Beispiel)???

Vielleicht blickt jemand besser durch als ich. ^^

Vielen Dank schonmal!

Gruß

Reiner

[moud]

Hallo Reiner,

dein Problem ist, dass du nicht genau gelesen hast

a)

Der Erziehblare Ertrag E gilt pro Baum!

Der Gesamtertrag G wäre dann:

G = X*E = X*(1300-10X)

G’ = 1300-20X

G’=0 -> X=1300/20= 65 Bäume

Damit folgt G = 42.250€

b) Aktuell bekommt er 50*(1300-10*50) = 40.000€

Folglich würde er den Gewinn um 5,6% steigern.

Bei weiteren Fragen einfach fragen!

Gruß,
Moritz

[RSS88]

Zunächst vielen Dank für die Antwort! Hilfreich und nachvollziehbar! Konnte die Aufgabe nun auch nochmal eigenständig lösen.
Zum Verständnis:

Kann man aus der Aufgabenstellung erkennen, was genau die 1300 und die 10 darstellen sollen. Versuche nur auch die vorgegebene Formel nachzuvollziehen. Sind dort Kosten enthalten?

Nach meinen Recherchen hatte ich diese Formeln gefunden:

Gewinn G(x) = E(x) - K(x)
Ertrag E(x) = Menge x * Verkaufspreis (pro Stück) p

Und das Gewinnmaximum sollte mit der Ableitung G’ herausgefunden werden.

Nun haben wir aber alles mit der Ertragsfunktion berechnet und gelöst. Heißt das für mich, ich habe die falschen Formeln recherchiert? Oder hat das doch was mit den Zahlen 1300 und 10 zu tun, die ich momentan noch nicht richtig nachvollziehen kann?

Vielleicht schließt Du hier noch meine Verständnislücke! DANKE!

[Safrael]

Nun haben wir aber alles mit der Ertragsfunktion berechnet und
gelöst. Heißt das für mich, ich habe die falschen Formeln
recherchiert?

Hi,

es gibt gewisse Standartformeln die man benutzen kann.
Diese sind:
Gewinn=Einnahmen-Ausgaben (anderer Begriff für Ausgaben: Kosten)
Einnahmen=Preis*Stück (und hier haben wir einen Lesefehler. Ertrag ist das selbe wie Preis Ertrag ist nicht das selbe wie Einnahmen, ein netter Fehler wenn man Abkürzungen benutzt und es nicht ausschreibt.)
Ausgaben(Kosten)=variable Kosten+Fixkosten

Diese finden aber nur Anwendung wenn man KEINE anderen Formeln bekommt.

Oder hat das doch was mit den Zahlen 1300 und 10
zu tun, die ich momentan noch nicht richtig nachvollziehen
kann?

Wenn man Formeln hin geklatscht bekommt und da steht das ist so, dann hat man das stillschweigend zu akzeptieren. Wenn sich der Lehrer Mühe gibt schreibt er einfach drüber: Bei einer Untersuchung hat ein doller Mathematiker herausgefunden, dass…
Und dann die Formel.

[Rima_Nari]

Von Finanzmathemtik habe ich spezielle keine Ahnung, weswegen ich die klassischer Herangehensweise an eine solche Aufgabe nicht kenne.

Worauf ich aber aufmerksam machen möchte ist, dass E den Ertrag pro Baum angibt und nicht den Gesamtbetrag (denn sonst hätte man ja den größten Ertrag mit 0 Bäumen). Das heißt, das E in der Aufgabenstellung kann wohl kaum das E(x) in der Formel G(x) = E(x) - K(x) sein.

Man könnte die Aufgabenstellung auch so interpretieren, dass E den zusätzlichen Ertrag angibt, den man für einen weiteren Baum bekommt… Aber da kann ich dir nichts verlässliches sagen, da ich nicht weiß welchen Schwierigkeitsgrad eure Aufgaben haben, was erwartet wird etc.

[RSS88]

Okay, danke! Ich muss also darauf achten, dass ich Kurzschreibweisen der Formeln nicht verwechsle. Im Großen und Ganzen hat es aber klick gemacht!

Danke an alle für die Riesenhilfe!!!

[Aprilfisch]

Servus,

Kann man aus der Aufgabenstellung erkennen, was genau die 1300
und die 10 darstellen sollen.

1300 ist der Ertrag pro Baum, wenn dieser völlig frei steht. Die Ertragsschmälerung durch Beschattung, Wasser- und Nährstoffkonkurrenz, die von benachbarten Bäumen ausgeht, wird mit -10x dargestellt.

Das ist in dieser Form nicht realistisch, braucht es aber auch nicht zu sein. Es geht hier schlicht darum, mit einer zunächst einfachen Ertragsfunktion in Richtung „abnehmender Ertragszuwachs“ zu marschieren. Wenn man die Ertragsfunktion auf dem von Thünenschen Kartoffelacker realistisch darstellen wollte, bekäme man ein System mit so vielen Dimensionen, dass die Leut erstmal nur mit den Ohren schlackern und auf Durchzug schalten.

Das ist der einfache Sinn der zitierten Formel.

Schöne Grüße

MM

[Luckscher]

Da muß erstmal die Frage richtig gestellt werden, so kann es kaum stimmen, denn mit der Formel E = 1300 - 10x wäre der Ertrag bzw. Gewinn um so größer je weniger Bäume da sind und am größten wenn kein Baum mehr da ist (E = 1300 - 10 * 0 = 1300). Also die Aufgabe nochmal richtig stellen/aufschreiben/erklären!

[RSS88]

Steht leider exakt so als Aufgabe in einer ehemaligen Klausur. ^^

[Aprilfisch]

Obstbau en der Kaijass
Servus,

wie ich bereits beschrieben habe, ist die Formel zwar stark vereinfachend - wegen des linearen Aufbaus - aber vollkommen richtig und plausibel.

Für den von Dir bemängelten Fall „Null Bäume“ führt sie übrigens auch zum richtigen Ergebnis, weil sie ja den Ertrag pro Baum beschreibt. D.h. bei Null Bäumen auf dem Grundstück gilt Null mol Null ess Null bliif Null.

Der Ertrag pro Baum wird geringer, je mehr Bäume auf dem Grundstück stehen, wegen Konkurrenz um Wasser, Nährstoffe, Sonneneinstrahlung. Selbstverständlich wird hier in der Realität der Ertrag pro Baum nicht linear abhängig von der Zahl der Bäume abnehmen, sondern bei relativ wenigen Bäumen gar nicht oder sehr wenig, in einem mittleren Bereich der Funktion ziemlich stark und bei sehr vielen Bäumen wieder weniger. Darum geht es aber in dem Übungsexempel nicht.

Schöne Grüße

MM

[Aprilfisch]

Servus,

lass Dich nicht kirre machen, die Aufgabe ist schon richtig gestellt so wie sie ist.

Schöne Grüße

MM

[Safrael]

Hi,

wie ich in einer meiner Antworten weiter unten geschrieben habe:

Wenn der Lehrer eine Formel als gegeben hin klatscht, dann ist das so, und wird nicht hinterfragt.
Falls Du unbedingt eine Logik im Sachzusammenhang haben willst:
Ein doller Mathematiker hat herausgefunden, dass abhängig von Angebot und Nachfrage die folgende Erlösfunktion entsteht: e(x)=1300-10x

MFG

[Aprilfisch]

Servus,

diese Deutung verwirrt mehr, als sie hilft - die beschriebene Funktion ist eine Produktionsfunktion, übrigens mit nur einem einzigen berücksichtigten Faktor, also noch weit weg von einer Angebotsfunktion, und sie berücksichtigt die Nachfrageseite überhaupt nicht. Dass sie in der Formulierung „Erlös pro Baum“ vorgelegt wird und nicht in der üblicheren „Erlös des Grundstücks in Abhängigkeit von der Anzahl der gepflanzten Bäume“, dient nicht nur ihrer Vereinfachung; sie zeigt auch, dass der Lehrer hier nicht irgendwas „hinklatscht“, sondern zusieht, dass nicht mechanisch gepaukt wird, indem er verschiedene Aspekte des gleichen Sachverhalts vorführt. Du hast ja in diesem Thread bereits gesehen, dass sie dadurch spontan als „falsch“ wahrgenommen wird, wenn man überliest, was die Funktion beschreiben soll - das ist pädagogisch ganz geschickt, weil jeder Schritt vom Auswendiglernen weg wichtig fürs Verständnis des Stoffes ist.

Wenn es Dich interessiert, in welchem theoretischen Zusammenhang die Sache mit der Obstgartenaufgabe steht, kannst Du Dich ja mal mit dem Thema „neoklassische Produktionsfunktion“ auseinandersetzen.

Schöne Grüße

MM