nach dem ich in meiner letzten Frage nach dem Modulo mit Polynomen gefragt habe, habe ich jetzt noch ein Verständnisproblem beim Anwendes des Euklids auf Polynome.
Konkret geht es um das folgende Beispiel im Körper \mathbb{Z}_3:
a=2x^2+x+1
b=x^2 + x + 2
Laut Mathematica ist das Ergebnis des Euklidalgorithmuses 1 (PolynomialGCD[2 x^2 + x + 1, x^2 + x + 2, x, Modulus -> 3])
Ich kann dieses Ergebnis aber leider nicht nachvollziehen. Hier sind meine Rechenschritte (ich hoffe man kann es lesen):
a | b | Rest der Division
2x^2+x+1 | x^2+x+2 | 2x
x^2+x+2 | 2x | 2
2x | 2 | 0
Ich bekomme also also für a und b den ggT=2
Da ich den Rest auch mit Mathematica verifiziert habe, frage ich mich wo mein Fehler liegen könnte.
Die Frage ist wie du auf das Ergebnis kommst? Ich und auch Mathematica (PolynomialMod[x^3 + x + 2, 2 x, Modulus -> 3]) kommen hier auf Rest 2.
Ich bekomme ja den Rest dadurch, dass ich den Grad von a immer weiter reduziere:
a=x^3 + x + 2
Divisor=2 x
a | Divisor | nächste Rechenoperation
x^2+x+2 | 2x | Divisor normalisieren: div=2x*2 = 4x = x
x^2+x+2 | x | div= *x^(2-1)
x^2+x+2 | x^2 | a=a-Divisor
x+2 | x^2 | Hier muss ich doch weitermachen, da der Grad meines aktuellen as größergleich meinem ursprünglichen Divisiors ist.
x+2 | 2x | Divisor normalisieren: div=2x*2 = 4x = x
x+2 | x | div=*x^(1-1)
2 | x | | a=a-Divisor
Grad von a ist kleiner als vom Divisor und somit ist 2 der Rest.
Stimmt an meiner Rechnung etwas nicht? Und wenn ja, warum macht Mathematica es genau so?
