Die Frage scheint zunächst kurios erscheinen, ergab sich aber bei der allg. Betrachtung von gleichseitigen Vielecken mit einer Seitenlänge a. Demnach hat ein n-Eck einem Umfang von n * a. Eine Linie hat zwar keine Ecken, ist aber theoretisch ein unendlich dünnes somit etxrem spitzwinkliches Dreieck mit einer Fläche nahezu 0 und einer Höhe nahezu a, der Umfang wäre demnach rund 2 * a.
2 * a + 2 * [Breite der Linie]
Eine Linie ist nicht unendlich dünn, da man sie dann gar nicht sehen würde! Meine Berechnung setzt eckige Enden voraus. Bei runden Ende wäre der Kreisumfang, eines Kreises mit dem Durchmesser der Dicke der Linie relevant.
Gruß Oberberger
Eine Linie im mathematischen Sinn ist eindimensional. Ein Objekt mit …
… ist daher keine Linie.
Wenn Du ein Dreieck immer mehr streckst, hat es trotzdem immer noch drei Seiten, die sehr nahe beieinanderliegen.
Wenn Du die Figur vollständig plattdrückst, liegen die Seiten zwar aufeinander, es sind aber immer noch drei Linien zwischen den drei Eckpunkten, also ein geschlossener Linienzug.
Hallo,
in der Mathematik ist es so: Du kannst definieren, was Du möchtest! Aber damit Deine Definition breite Anerkennung gewinnt, sollte sie auch etwas „leisten“, z.B. das Formulieren von Theoremen vereinfachen.
Deine Grenzprozessbetrachtung (ein Dreieck strecken) ist gut, aber Deine Definition würde ich trotzdem nicht benutzen: Ich würde mich fragen, warum streckst Du ausgerechnet ein Dreieck und kein Viereck, Fünfeck, n-Eck. Sind die Definitionen dann alle kompatibel?
Ich persönlich favorisiere eine andere Art der Grenzbetrachtung: Linien zwischen den Ecken in n-Ecken sind doch egal, ein Dreieck ist ein Tupel von 3 Punkten, ein Viereck ist ein Tupel von 4 Punkten, etc. Ein Zweieck ist ein Tupel von 2 Punkten, ein Eineck ist ein Tupel von einem Punkt (oder alternativ ein Punkt).
So, Umfang eines n-Ecks: Der Umfang von (P1, P2, …, Pn) ist definiert als die Summe der Abstaende zwischen (im Tupel) benachbarten Punkten plus der Abstand |Pn,P1|. (Das könnte man jetzt auch noch schöner ausdrücken).
Probieren wir mal Dein 2-Eck mit dieser Definition
u(P1, P2) = |P1, P2| + |P2, P1| = 2 |P1, P2|
Passt!
Auch können wir jetzt den Umfang von Einecken angeben: u(P1) = |P1,P1| = 0. Macht Sinn.
Im mathematischen Sinn ist eine Linie eindimensional, hat also keinerlei Fläche.
Du mußt halt sehen, daß der Umfang selbst nur eine Definitionssache war, und dazu keine eindeutige, alles steht und fällt mit der Definition des Abstands. Es gibt auch andere Abstandsmaße als den euklidischen Abstand, und dementsprechend auch andere „Umfänge“.
Zumindest sieht man sofort, daß mit meiner Definition von n-Eck und Umfang die Aussage uber das Zweieck von der Definition des Abstands unabhängig ist.
Denkfehler.
Man muss unterscheiden zwischen der mathematischen Linie und der gezeichneten Linie.
Die mathematische Linie hat keine Breite und damit auch keine Fläche und keinen Umfang.
Die gezeichnete Linie hat natürlich eine Fläche, sonst könnte man sie ja nicht sehen.
Beim Punkt ist es genauso:
Ein mathematischer Punkt hat keine Fläche. Den Punkt, den du aufs Papier zeichnest, hat eine Fläche.
Gruß
Dirk
Ja, das hatte ich mir inzwischen auch schon gedacht; ist aber eher ein „Brettfehler“ als ein „Denkfehler“!
Ich entwerfe (u. a.) Visualisierungen für HMIs (Human Machine Interfaces) und habe da öfters mit Linien, eckigen und runden Enden zu tun…
Gruß Oberberger
Das ist die Frage. Redet ihr bei der Linie mathematisch von einer Strecke oder einer Geraden.
Eine Gerade ist eine Kurve mit der Krümmung 0. Also ist sie ein Kreis mit einem unendlich großen Durchmesser. Man kann also aus PI * d den Umfang errechnen. Eine Strecke ist ein Teil einer Geraden mit Anfang und Ende.
Man kann sie als Kreissektor betrachten. Der Kreissektor wird mit PI * d * Φ/360° berechnet. Da d unendlich ist, ist Φ gleich 360°. Somit wären beide Umfänge gleich. Mathemathik muss nicht immer Sinn machen.
B
Wieso Fläche? wurde hier nicht nach dem Umfang gefragt?