Gibt es reelle Zahlen, die Grenzwert keiner Folge sind?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

das Betreff beschreibt die Fragestellung eigentlich schon
sehr exakt, aber ich führe das trotzdem nochmal etwas
weiter aus:
Jede konvergente Folge in |R hat ja ihren Grenzwert in |R

  • das ist klar. Aber gibt es auch Zahlen in |R, die
    Grenzwert keiner Folge sind, also in keiner Form
    darstellbar sind?

Wenn das zutrifft schließen sich einige weitere Fragen
an:

  1. Wie heißen diese Zahlen?
  2. Wie kann man deren Existenz beweisen?
  3. Wenn ich es richtig verstanden habe sind die
    hyperreellen Zahlen gerade durch Folgenkonvergenz (bzw. -
    divergenz für die infiniten zahlen) definiert. Bedeutet
    das nicht, dass |R keine Untermenge von *|R ist?

Zu meinem Wissensstand:
Ich studiere Mathematik und Informatik im 4 Semester,
habe also eine gewisse Vorbildung.

Ich freue mich schon auf eure Antworten.

Liebe Grüße,
SaM

#2

Hallo SaM,

ich erhielt gerade eine Mail von wer-weiss-was, in der ich auf Deine Frage hingewiesen wurde.

Meine Antwort ist: nein,
denn ich kann ja zu jeder reellen Zahl r eine Folge f(n)konstruieren mit f(n) = r - 1/n. Diese Folge konvergiert gegen r.

Viele Grüße, Armin

Hallo,

das Betreff beschreibt die Fragestellung eigentlich schon
sehr exakt, aber ich führe das trotzdem nochmal etwas
weiter aus:
Jede konvergente Folge in |R hat ja ihren Grenzwert in |R

  • das ist klar. Aber gibt es auch Zahlen in |R, die
    Grenzwert keiner Folge sind, also in keiner Form
    darstellbar sind?

Zu meinem Wissensstand:
Ich studiere Mathematik und Informatik im 4 Semester,
habe also eine gewisse Vorbildung.

Ich freue mich schon auf eure Antworten.

Liebe Grüße,
SaM