Gleichheit von Summen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe vor mir:

Berechne die Summe aus

Summe von k=1 bis k=unendlich aus 1/2^k
(Das k bezieht sich nur auf den Nenner)

In der Lösung wird umindiziert:

Summe von k=0 bis k=unendlich aus (1/2)^k -1
(Die -1 steht außerhalb der Summe)

Letztlich läuft es darauf hinaus die Formel für die geometrische Reihe anwenden zu können. Meine Frage dazu:

Ist die Umindizierung nicht überflüssig?

Denn ich bin der Meinung das gilt

Summe von k=1 bis k=unendlich aus (1/2)^k (k bezieht sich auf 0,5)

Summe von k=1 bis k=unendlich aus 1/2^k
(k bezieht sich auf die 2 im Nenner)

Oder sehe ich das falsch?

Beste Grüße

Max

#2

Hi,

prinzipiell ist das Umklammern nicht falsch, wurde aber wohl als selbstverständlich vorausgesetzt.

Es wird gerade nicht umindiziert, sondern die Reihe um das nullte Glied ergänzt. Und diese gleich wieder abgezogen.

Wichtig ist, dass der geschlossene Ausdruck 1/(1-q) für die geometrische Reihe voraussetzt, dass die Reihe beim Index k=0 anfängt.

Man könnte dazu auch einfach einen Faktor 1/2 ausklammern. Und dann Umindizieren.

Gruß, Lutz

#3

Hallo Lutz,

vielen Dank für die Antwort. Es hat mir sehr geholfen. Dass der Index bei 0 beginnen muss, das habe ich garnicht beachtet. Danke für die Info.

Beste Grüße

Max