Gleichung einer Senkrechte zur Ebene

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Gegeben sind die nachfolgenden 4 Punkte: 

A = (1;2;1) ; B = (-1;0;3) ; C = (2;2;1) ; D = (4;2;-2)

Wie lautet die beliebige Gleichung einer Senkrechten zur Ebene welche aus den Punkten B, C und D gebildet werden kann?"

Zunächst habe ich die Ebenengleichung aufgestellt, welche aus den Punkten B, C und D resultiert:

E:x = (-1;0;3) + λ (3;2;-2) + μ (5;2;-5)

Die Senkrechte, die gebildet werden soll, muss schonmal den gleichen Ortsvektor haben. Der Richtungsvektor dieser Gleichung muss zudem mit beiden Richtungsvektoren der Ebene das Skalarprodukt 0 ergeben, korrekt?

g:x = (-1;0;3) + α (a;b;c)

(a;b;c) * (3;2;-2) = 0
(a;b;c) * (2;2;4)  = 0

–> resultiert:

     3a + 2b - 2c  = 0
(-) 2a + 2b + 4c = 0

Bei 3 Unbekannten und 2 Gleichungen kann ich doch eine Unbekannte ignorieren, oder?

Wenn ich beispielsweise c ignoriere --> c = 0

     3a + 2b = 0
(-) 2a + 2b = 0
____________
       a + 0   = 0 

a = 0

setze ich a in eine der beiden Gleichungen ein, erhalte ich b = 0.

Nun habe ich eine Blockade, ich weiß nicht mehr so recht weiter. Alles weitere einsetzen ergibt für mich momentan keinen Sinn. 

Vielleicht kann mich ja jemand auf Fehler in meiner bisherigen Vorgehensweise hinweisen bzw. mir erklären, wie die weitere Vorgehensweise ist.

Tausend Dank im Voraus!

Schönen Gruß

Reiner

#2

Hi,

Du darfst eine Variable frei wählen, sie darf aber nicht 0 sein!

Wenn Du übrigens zuerst eine Variable eliminierst und Dir danach die Zahl ausdenkst kannst Du übrigens eine finden, so dass es ein „hübsches“ Ergebnis im Sinne von ganzen Zahlen gibt.

MFG

#3

Hallo Reiner,

ergänzend zu Safraels Antwort noch der Hinweis auf das Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt aus zwei Vektoren a x b ergibt einen Vektor, der senkrecht zu a und senkrecht zu b ist. Die Länge des Vektors entspricht der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms (was hier aber keine Rolle spielt).
Wenn du also das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen, berechnest, hast du einen möglichen Richtungsvektor der senkrechten Gerade.

Nico

#4

Hallo,

Du darfst eine Variable frei wählen, sie darf aber nicht 0 sein!

vielleicht magst Du dem Fragesteller ja auch noch kurz den Grund dieses „Verbots“ erklären? Das wäre sicher sinnvoll.

Wenn Du übrigens zuerst eine Variable eliminierst und Dir danach die Zahl ausdenkst kannst
Du übrigens eine finden, so dass es ein „hübsches“ Ergebnis im Sinne von ganzen Zahlen gibt.

Man kann mit der Ergebnisverhübschung auch gut bis zum Schluss warten. Der einfachste Weg ist, einfach eine der Variablen auf irgendeinen beliebigen Wert (≠ 0) zu setzen, beispielsweise 1. Dadurch erhält man ein 2×2-LGS, welches man löst. Als Komponenten des Ergebnisvektors wird man dann sehr wahrscheinlich irgendwelche Brüche herausbekommen. Den etwaigen Wunsch nach einem „schönen“ ganzzahligen Ergebnisvektor kann man sich dann immer noch erfüllen, indem man alle Komponenten mit dem (leicht zu erkennenden) Hauptnenner aller Komponenten multipliziert.

Gruß
Martin

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#5

Vielen Dank zunächst!

Habe nun für die Variable c=1 gewählt. Somit erhalte ich folgendes Gleichungssystem:

3a + 2b + 2*1= 0
(-) 2a + 2b - 4*1= 0
____________
a - 6 = 0 --> a = 6

Nun setze ich c = 1 und a = 6 in einen der beiden Zeilen des Gleichungssystem ein und erhalte b = - 8.
Resultierend erhalte ich also den Ergebnisvektor (6;-8;1)

Diesen als Richtungsvektor in obige Geradengleichung eingesetzt erhalte ich als Lösung:

g:x = (-1;0;3) + α (6;-8;1)

Korrekt?

Schönen Gruß

Reiner

#6

Vielen Dank!

Wenn die Möglichkeit der Kreuzprodukt-Bildung also eine alternative Lösungsmethode ist, ist folgende Aufstellung genauso korrekt?

a x b = (3;2;-2) x (5;2;-5) = (-6;5;-4)

Somit:

g:x = (-1;0;3) + α (-6;5;-4)

Korrekt?

Schönen Gruß

Reiner

#7

Richtig, der Richtungsvektor stimmst.

Bei deinem Gleichungssystem hast du dich öfter mit dem Vorzeichen vertan. Schon am Anfang beim Bestimmen der Richtungsvektoren. Ansonsten sollte bei beiden Verfahren ein Vektor rauskommen, der in dieselbe Richtung zeigt (also der eine Vektor sollte ein Vielfaches des anderen sein).

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