Gleichung lösen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Lösen Sie die Gleichung (Punkte nur bei erkennbarem Rechenweg)

32(a-x) = 9(x-a)(x+a)"

Das erste Problem, worauf ich stoße ist, wie ich den Exponent weg bekomme. 
Bei einer e-Funktion kann ich ja den Logarithmus ln anwenden, kann ich das hier auch? Wenn ja: Was geschieht dann mit der 3 und der 9? Bei der e-Funktion fällt das e ja dann weg. Vielleicht ist das aber auch der völlig falsche Weg.

Ich freue mich über jede Art von Hilfe!

Gruß

Reiner

#2

Bei einer e-Funktion kann ich ja den Logarithmus ln anwenden,
kann ich das hier auch?

Fast, der ln oder Logarithmus Naturalis oder lLogarithmus zur Basis e kann natürlich nicht angewandt werden. Statt dessen nehmen wir den log3() Also den Logarithmus zur Basis 3 oder den zur Basis 9

Wenn ja: Was geschieht dann mit der 3

fällt weg, genau so wie bei ln das e wegfällt

und der 9? Bei der e-Funktion fällt das e ja dann weg.
Vielleicht ist das aber auch der völlig falsche Weg.

Der Ansatz ist da, nur nimmt man halt den passenden Logarithmus.

32(a-x) = 9(x-a)(x+a)

als Pozenz schreiben um die Basis „gleichnamig“ zu machen
32(a-x) = (32)(x-a)(x+a)
5. Potenzgesetz
32(a-x) = 32*(x-a)(x+a)
nun ist es offensichtlich, dass man den log3() anwenden kann.
2(a-x) = 2*(x-a)(x+a)
und nun klassisch weiter

#3

Hallo,

rekapitulieren wir doch mal die benötigten Logarithmengesetze;
\log(a^b)=b * \log(a)
Wenn du also eine e-Funktion hast, wird daraus:
y = e^x
\ln(y) = \ln(e^x)=x*\ln(e)=x*1=x
Jetzt könnten wir das stur auf deine Gleichung anwenden. Wir können aber auch vorher kurz überlegen.
Was fällt dir zu den Zahlen 3 und 9 auf? Z.B. sollte dir auffallen, dass 9=3^2 ist. Auf der linken Seite steht sowas wie 3 hoch (2 mal …). Wenden wir die Potenzgesetze an und „klammern das aus“:
3^{2(a-x)} = (3^2)^{a-x}=9^{a-x}
Dann haben wir auf beiden Seiten eine 9er-Potenz. Nun ist offensichtlich, dass die Exponenten gleich sein müssen. Formal können wir noch den Logarithmus zur Basis 9 verwenden, um das zu zeigen:
\log_9{9^{a-x}}=\log_9{9^{(x-a)(x+a)}}
(a-x)*\log_9{9}=(x-a)(x+a)*\log_9{9}
(a-x)=(x-a)(x+a)
Den restlichen Weg kriegst du sicher selbst hin.

Nico

#4

Danke zunächst! Große Hilfe! 

Nun bin ich an diesem Punkt angelangt:

0 = x2 - a2 + x - a

Das Problem ist, wie ich jetzt weiter verfahre, ohne das a2 könnte ich ja mit der pq-Formel die x-Werte berechnen, doch da dies noch da ist, weiß ich nicht so recht weiter…

#5

0 = x2 - a2 + x - a

Das Problem ist, wie ich jetzt weiter verfahre, ohne das a2
könnte ich ja mit der pq-Formel die x-Werte berechnen, doch da
dies noch da ist, weiß ich nicht so recht weiter…

p=1
q=-a^2 - a

Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht Pflicht

1 Like
#6

Danke! =)

#7

Ergebnis nach pq-Formel:

x1 = -1/2 + sqrt 1/2+a^2+a /sqrt
x2 = -1/2 - sqrt 1/2+a^2+a /sqrt

#8

Hi,

Du hast im inneren der WUrzel das Quadrat über dem p/2 vergessen, was die Zahl zu 1/4 macht.
Dann kannst Du überlegen ob man das noch vereinfachen kann. Tipp: bonomische Formel rückwärts.

MFG

1 Like