Kann mir jemand den Lösungsweg für die Gleichung |3-x|=7 Verständlich erläutern?
Hallo erstmal,
versuch mal eine Fallunterscheidung.
Fall I: (3 - x) >= 0, dann kannst Du die Betragsstriche fortfallen lassen, also: 3 - x = 7.
Fall II: (3 - x)
Hallo Volker, danke für die schnelle Antwort 
Ich habe die Fallunterscheidung vorgenommen
Bei Fall 1 soll (3-x) >=0 sein, ich bekomme aber -4 heraus
Bei Fall 2 soll (3-x)
Hallo!
Bei Fall 1 soll (3-x) >=0 sein, ich bekomme aber -4 heraus
Heisst das jetzt, daß die Aufgabe nicht lösbar ist?
Meinst Du damit, dass x gleich -4 ist? Dann ist doch
3-x = 3-(-4)=3+4=7, also größer als Null.
Wenn Du nicht sicher bist, ob das Ergebnis Deiner Rechnung eine Lösung ist, dass setze Dein Ergebnis doch als Probe in die Ausgangsgleichung ein:
|3-x| = 7
|3-(-4)| = 7
|3+4| = 7
|7| = 7
7 = 7
Das stimmt, also ist alles gut!
Liebe Grüße,
The Nameless
Hallo,
Bei Fall 1 soll (3-x) >=0 sein, ich bekomme aber -4 heraus
Preisfrage: Wenn x = –4 ist, welchen Wert hat dann –x?
Bei Fall 2 soll (3-x)
Danke für eure Antworten
Check mal Deine Rechnung zu Fall 2. Das richtige Ergebnis ist
10.
Ja stimmt, da habe ich mich verrechnet
Nochmal zu den zwei Fällen (vielleicht stehe ich auch gerade auf dem Schlauch)
also,ich habe die Gleichung |3-x|=7
dazu soll ich die Lösungsmenge ermitteln
die Lösungsmenge besteht aus zwei Fällen:
einmal der Fall 1: |3-x|>= 0
also anders ausgedrückt, die Lösungsmenge soll positiv sein,
oder verstehe ich das falsch?
Hier bekomme ich aber was Negatives heraus, -4
es kommt zwar am Ende 7 heraus, aber im falschen Fall 
Und bei Fall 2 soll dafür (so wie ich das verstanden hatte) das Ergebnis negativ sein, weil: |3-x|
einmal der Fall 1: |3-x|>= 0
also anders ausgedrückt, die Lösungsmenge soll positiv sein,
oder verstehe ich das falsch?
Ja, Du verstehst es falsch! Nicht die Lösungsmenge soll positiv sein, sonder der Term, der zwischen den Absolutstrichen steht, also:
(3 - x) >= 0
Hier bekomme ich aber was Negatives heraus, -4
Weshalb dieses Ergebnis richtig ist, wurde Dir ja schon erklärt.
Und bei Fall 2 soll dafür (so wie ich das verstanden hatte)
das Ergebnis negativ sein, weil: |3-x|
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also,ich habe die Gleichung |3-x|=7
dazu soll ich die Lösungsmenge ermitteln
Ja.
die Lösungsmenge besteht aus zwei Fällen:
einmal der Fall 1: |3-x|>= 0
Die Lösungsmenge besteht hier aus zwei Elementen. Aber Achtung: Das ist nicht automatisch bei jeder Gleichung so, in der Betragsstriche herumstehen. Das Ersetzen von „3 – x“ durch einen anderen Term reicht, um die Lösungsmenge drastisch zu verändern, z. B. ist die Lösungsmenge von |x² – 2x| = 1 dreielementig, die von |x² – 3x| = 1 ist vierelementig, und die von |x³ – 3x| = 1 sogar sechselementig.
Der erste Schritt bei solchen Aufgaben ist immer das Loswerden der Betragsstriche. Das geht über die Definition des Betrags:
|a| :=
\left{
\begin{array}{ll}
a & \textnormal{f"ur}:: a\ge0\
-a & \textnormal{f"ur}:: a
Der Preis für das Auflösen von Betragsstrichen ist also eine Fallunterscheidung.
Da Du nun weißt, was |a| ist, weißt Du auch was |…| ist, wenn statt a irgendwas zwischen den Betragsstrichen steht, beispielsweise x² + 4x – 1:
|x^2+4x-1| =
\left{
\begin{array}{ll}
x^2+4x-1 & \textnormal{f"ur}:: x^2+4x-1\ge0\
-(x^2+4x-1) & \textnormal{f"ur}:: x^2+4x-1
Du erkennst das Prinzip? OK, dann wende es auf Deine Aufgabe an:
|3 - x| =
\left{
\begin{array}{ll}
3 - x & \textnormal{f"ur}:: 3 - x\ge 0\
-(3 - x) & \textnormal{f"ur}:: 3 - x
Die Gleichung |3 – x| = 7 ist damit äquivalent zu
\left{
\begin{array}{ll}
3 - x = 7 & \textnormal{f"ur}:: 3 - x\ge 0\
-(3 - x) = 7 & \textnormal{f"ur}:: 3 - x
Das kannst Du ohne Schwierigkeiten vereinfachen:
\left{
\begin{array}{ll}
x = -4 & \textnormal{f"ur}:: x\le 3\
x = 10 & \textnormal{f"ur}:: x\rhd 3
\end{array}
\right.
(Lies das Dreieck \rhd bitte als „>“.)
Da beide Ergebnisse (x = –4 und x = 10) mit ihren jeweiligen „für“-Bedingungen kompatibel sind (*), sind sie gültig und Du bist mit der Aufgabe fertig: Die Lösungsmenge von |3 – x| = 7 ist {–4, 10}.
(*) Diese Kompatibilität ist nicht selbstverständlich! Bei einer passenden Änderung der Aufgabe kann sie verloren gehen. Wenn Du Lust hast, überzeuge Dich davon anhand |3 – x| = –5. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist leer, was aber von vornherein klar ist, weil Beträge ja niemals negativ sind. Die Lösungsmenge jeder Gleichung der Form |…| = irgendeine negative Zahl ist also immer leer, egal was zwischen den Betragsstrichen steht.
Und wenn man hier die Probe macht:
|3-x|=7
3-10=7
-7=7 …haut nicht hin
Mach das ordentlich, dann haut’s auch hin:
x = 10 ⇒ |3 – x| = |3 – 10| = |–7| = 7 ⇒ stimmt!
Gute Nacht
Martin
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Super danke, Volker! Ich glaub, jetzt hab ich´s verstanden
Danke für die ausführliche Hilfe, Martin
Na, das ist doch mal ein schönes Ergebnis!
Gruß Volker