Gleichungssystem lösen mit Einsetzungs- oder Additionsverfahren

Wissenschaft Mathematik
#1

Folgende Aufgabe:

"Das Gleichungssystem ist für die Variablen x,y und z zu lösen:

4x-2ay+z=5a
-x+3ay+2z=-a
3x+2y+6z=2

Lösen Sie dieses Gleichungssystem mit dem Einsetzungs- oder Additionsverfahren."

Nun habe ich hierzu eine Rechnung aufgestellt. Ich bitte diese mal durchzuschauen, da ich starke Zweifel daran habe, dass diese 100 % korrekt ist:

I+II :
10ay+9z=a
9z= -10ay+a
z=-10/9ay+1/9a

in II einsetzen:
-x+3ay+2*(-10/9ay+1/9a)=-a
-x+3ay-20/9ay+2/9a=-a
-x+7/9ay+2/9a=-a
x=7/9ay+11/9a

in III einsetzen:
3*(7/9ay+11/9a)+2y+6*(-10/9ay+1/9a)=-a
7/3ay+11/3a+2y-20/3ay+2/3a=-a
-13/3ay+13/3a+2y=-a
2y=13/3ay-16/3a
y=13/6ay-8/3a

x=7/9ay+11/9a; y= 13/6ay-8/3a; z=-10/9ay+1/9a

Dies war nun also meine Rechnung samt Lösung. Ist dies so korrekt? Habe mit dem Gedanken gespielt, das Ergebnis von „y=…:“ noch für das y jeweils in x und z einzusetzen, allerdings sah ich darin keine Sinnhaftigkeit (Gut möglich, dass ich mich irre).

Ich freue mich über jede Art von Kommentar und bedanke mich bereits im Voraus.

Schönen Gruß!

#2

Korrektur: 

Am Anfang der Rechnung steht:

„I+II“

soll heißen

„I+4*II“

Sonst keine „Schreibfehler“. Nochmal vielen Dank für jede Art von Hilfe! =)

#3

Hallo,

bis zur Zeile

in III einsetzen:

sieht alles gut aus. Danach hast du dich aber vertan. Die Gleichung, die du dort verwendet hast, stimmt so nicht. Auf der rechten Seite steht eine 2, kein -a.

Danach bekommst du eine Zeile
y = … * y + …
Das ist natürlich noch keine Lösung. Wir wissen ja immer noch nicht, was y ist. Daher musst du diese Gleichung noch umformen, sodass y allein auf einer Seite steht. Dazu reicht hier eine Addition (bzw. Subtraktion) mit nachfolgendem Ausklammern und Division.

Danach kannst du die gefundene Lösung für y (aber wirklich erst die Lösung) in die Gleichungen für x und z einsetzen und vereinfachen.

Zur Kontrolle hier die Lösung:

x = 2a
y = 1
z = -a

Nico

#4

Vielen Dank bis hierhin. Habe den Fehler mit der 2 korrigiert und weiter gerechnet.
Komme dann bis zu dem Punkt:

2y=2+13/3ay-13/3a

Wahrscheinlich kommt hier das Ausklammern ins Spiel, was du angesprochen hast. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich das nun sinnvoll anwenden muss.
Wenn ich „a“ ausklammere, würde ich ja den Ausdruck
2y=2+(13/3y-13/3)a
erhalten. Bringt mich aber nicht weiter (Oder?)

Schlussendlich würde ich durch 2 dividieren um „y=…“ zu erhalten, das ist klar.

Ich hoffe du kannst mir die letzte Hilfe noch einmal geben. Vielen vielen Dank!

#5

Richtig, a ausklammern bringt dich nicht weiter. Bringen wir erst mal alles, was ein y hat, auf die linke Seite.
2y -\frac{13}{3} ay= 2 - \frac{13}{3} a
Jetzt können wir y ausklammern
y(2-\frac{13}{3}a)=2-\frac{13}{3}* a
Dann noch durch den eingeklammerten Term dividieren und wir kommen auf das Ergebnis
y=1

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#6

Top! =) Durchgerechnet, alles geklappt!

Vielen lieben Dank! Wieder einiges gelernt. =)