Grad von Polynomfunktion und Anzahl der Null-,Extrem- und Wendestellen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!
Kann mir bitte jemand sagen, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind.

Eine Polynomfunktion 1.Grades hat immer genau eine Nullstelle, keine Extremstellen und keine Wendestellen.

Eine Polynomfunktion 2.Grades hat entweder keine, eine, oder zwei Nullstellen. Sie hat immer genau eine Extremstelle und keine Wendestellen.

Eine Polynomfunktion 3.Grades hat entweder eine, zwei, oder drei Nullstellen. Sie hat entweder keine oder genau zwei Extremstellen. Sie hat immer genau eine Wendestelle.

Eine Polynomfunktion 4.Grades hat entweder keine, eine, zwei, drei, oder vier Nullstellen. Sie hat entweder eine oder genau drei Extremstellen. Sie hat entweder keine oder genau zwei Wendestellen.

Ich habe noch folgende Fragen:
Kann eine Polynomfunktion 3.Grades auch genau eine Extremstelle haben?

Kann eine Polynomfunktion 4.Grades auch genau zwei Extremstellen haben?

Kann eine Polynomfunktion 4.Grades auch genau eine Wendestelle haben?

Vielen Dank für die Beantwortung schon im Voraus!

#2

Guten Tag,

was sind Deine eigenen Ideen oder wenigstens Assoziationen zu diesen Aufgaben? Was sind Deine allgemeinen Kenntnisse zu diesem Thema?

Werden Nullstellen mit oder ohne Vielfachheit gezählt?

Gruß, Lutz

#3

Hallo,

meine Assoziationen dazu sind die einzelnen Aussagen, von denen ich gerne wüsste, ob sie richtig sind oder nicht.
Nullstellen werden ohne Vielfachheit gezählt. Wenn man sie mit Vielfachheit zählen würde, könnte man gleich sagen, dass jedes Polynom n.ten Grades in C (Körper der komplexen Zahlen) n Nullstellen hat.
Ich bitte einfach nur um Antworten, ob die Aussagen über die Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen stimmen.

Vielen Dank!

#4

OK,

dann wäre ein etwas längere einleitender Text hilfreich gewesen, so sieht es aus wie ein Fragekatalog aus einem Multiple-Choice-Test.

Der erste Block von Aussagen hat alles richtig.

Der zweite Block von Folgefragen hat alles falsch bzw. Antwort „Nein“ (sofern eine horizontale Wendestelle nicht als Extremstelle gezählt wird). Das kann man entweder geometrisch am Verhalten im Unendlichen festmachen, oder durch Diskussion der Lage und Anzahl der Nullstellen der ersten und zweiten Ableitungen.

Gruß, Lutz

#5

Vielen Dank für die Antwort und die Hilfe!

Ja, eine horizontale Wendestelle (also ein Sattelpunkt) wird nicht als Extremstelle gezählt. Eine Extremstelle ist nur ein lokales bzw. globales Maximum oder Minimum.