Grammatrix

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Tag,

ich habe zunächst die Suchfunktion von google und auch hier benutzt, ich finde nichts, daher das neue Thema hier.

Ich würde von euch gerne wissen was genau eine Grammatrix {,} oder eine „Gramsche Matrix“ ist. Ich weiß zwar *glaube ich doch* wie ich sie aus gegebenen Basen bilde in einem VxV Vektroraum -> K, aber ich verstehe den Sinn und Zweck einer solchen nicht. Können die Grammatrizen irgendwas tolles, was andere nicht können oder haben die spezielle Regeln, die es zu beachten gilt?

Zeigen Sie, dass {,} ein Skalarprodukt ist
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V.

–>Für SP zeigen soll das Produkt gleich 0 sein?

Danke für Hilfen,
Chris

#2

Hi,

Du weißt doch schon einiges. In der Grammatrix stehen die Skalarprodukte der Basisvektoren. Durch eine Cholesky-Faktorisierung kannst Du nachprüfen, dass es tatsächlich eine positiv-definite Bilinearform ist. Die Determinante der Grammatrix ist das Quadrat des Volumens des Spats oder Parallelepipeds, welches von den Basisvektoren aufgespannt wird.

Gruß, Lutz

#3

Zeigen Sie, dass {,} ein Skalarprodukt ist
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V.

–>Für SP zeigen soll das Produkt gleich 0 sein?

Hallo,

Wie man die Gram’sche Matrix berechnet hat Lutz ja bereits geschrieben.
Um zu zeigen, dass {,} ein Skalarprodukt ist, musst du zeigen, dass {,} bilinear, symmetrisch und positiv definit ist.
Bei einer Orthonormalbasis von V muss das Skalarprodukt zweier verschiedener Basisvektoren 0 sein, und das Produkt eines Basisvektors mit sich selbst sollte 1 sein. Um solch eine Basis zu finden, kannst du z.B. das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren verwenden. Dabei zieht man von einem beliebigen Vektor alle Projektionen auf schon gefundene Basisvektoren ab, sodass nur noch der orthogonale Anteil übrig bleibt. Danach normiert man noch auf Einheitslänge und erhält so einen weiteren Basisvektor.

Gruß,

hendrik