Hi zusammen,
ich habe rausbekommen, dass der Grenzwert des obigen Ausdrucks gleich „r“ ist (über die Wolfram-Seite). Aber ich würde gerne verstehen warum. Kann mir jemand helfen oder weiß einen Internetlink, wo das erklärt wird?
Danke Alb
Hallo,
m*(e^(r/m)-1) =(e^(r/m)-1)/(1/m)
Im Zähler steht jetzt : e^(r/m)-1
Wenn m im Zähler gegen unendlich geht, wäre der Zähler 0: e^0-1 = 1-1=0.
Wenn m im Nenner bei 1/m gegen unendlich geht, hättest du im Nenner auch 0.
Bei 0/0 kannst du l´Hospital anwenden, d.h. von Zähler und Nenner die 1. Ableitung bilden.
Du erhältst dann:
lim(m->inf)( -r*e^(r/x)x^-2)/(-x^-2)
Die x^-2 kannst du weg kürzen, so dass übrig bleibt:
lim(m->inf) r e^(r/x )= re^0 = r1 = r
.
Korrektur:
Weil „m“ gegen unendlich geht, hat in diesem Fall das „x“ da nichts zu suchen. ;-).
Also „x“ durch „m“ ersetzen!
Super-Spitzenklasse, vielen Dank für die Antwort, 
Viele Grüße Alb!
Hallo Albert,
hmmmm das ist gar nicht so einfach. Ich Versuche es mal.
- Erst betrachte ich nur den Term und schreibe ich es um (also hier habe ich nur den Faktor „m“ anders ausgedrückt) :
(exp(r/m)-1)/(1/m) - Jetzt multipliziere ich sowohl den Zähler als auch den Nenner mit d/dm (Regel von de l’Hospital) und leite sowohl den Zähler als auch den Nenner ab dann steht da (das kannst du hier nur machen, weil beide Terme, also Zähler und Nenner, für diesen Grenzwert gegen 0 verlaufen) :
(-r* exp(r/m)/m²)/-(1/m²) = r* exp( r/m) - Grenzwert für m gegen unendlich betrachten:
für m gegen unendlich ist exp(r/m)=exp(0)= 1
d.h. lim (m-> infinity) m*(exp(r/m)-1)= lim (m-> infinity) r* exp(r/m) = r * exp(0)= r
Hoffe ich konnte helfen.
Gruß
R.